Нарушение единственности решений уравнения Бернулли

[milton]

Дано уравнение
$y'+y=a(x)*\sqrt[5]y$
функция a(x) - непрерывна
Задание - исследовать на нарушение единственности. (На неограниченную продолжаемость я уже исследовал по т. Винтнера)

Условия теоремы Коши-Липшица тут не проходят, т. Осгуда тоже.
Преподаватель сказал, что нарушения все же будут.
Есть гипотеза, что нарушения будут, когда a(x) есть константа(уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными). А есть ли другие случаи?

вообще на данный момент написано общее решение этого уравнения

[ewert]

milton в сообщении #278363 писал(а):

вообще на данный момент написано общее решение этого уравнения

Ну и прекрасно; чего ж ещё и нужно? Оно (общее решение, в смысле его представители) будет иметь общую точку с горизонтальной осью. И в то же время $y(x)\equiv0$ -- тоже решение.

[[da_smag]]

а как с помощью общего интеграла понять: будет ли нарушаться ед-ть на у=0 или нет?

[[da_smag]]

(Оффтоп)

не актуально

[milton]

Общее решение
уравнения
$y'+y=a(x)*\sqrt[5]y$

вот какое.
$\left( y \left( x \right) \right) ^{4/5}-{\frac {\int \!4/5\,{e^{4/5\,x}}a \left( x \right) {dx}+{\it \_C1}}{{e^{4/5\,x}}}}=0$

[V.V.]

Ну, и будет нарушение единственности. Например, решайте задачу Коши с условием $y(0)=0$.

Получите решение $y(x)=\biggl[\frac{4}{5}\int\limits_0^x a(s)e^{4s/5}\,ds\biggr]^{5/4}e^{-x}$.

Кстати, когда решаете уравнение Бернулли можно делать не только замену $y(x)=z^{4/5}(x)$, но и $y(x)=-z^{4/5}(x)$. Что тогда произойдет???