Собственные вектора и значение

[Hitp]

Задача: найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , заданного матрицей в некотором базисе. Найти матрицу оператора в базисе из собственных векторов. Вот матрица:
$% MathType!MTEF!2!1!+- % feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqbaeqabiGaaa % qaaiaaisdaaeaacaaI4aaabaGaaGymaaqaaiaaikdaaaaaaa!38F4! \[ \begin{array}{*{20}c} 4 & 8 \\ 1 & 2 \\ \end{array} \]$
Получилось что
$% MathType!MTEF!2!1!+- % feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeq4UdW2aaS % baaSqaaiaaigdaaeqaaaaa!3888! \[ \lambda _1 \] $=4
$% MathType!MTEF!2!1!+- % feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeq4UdW2aaS % baaSqaaiaaigdaaeqaaaaa!3888! \[ \lambda _2 \] $=2
и соответственно такие уравнения
для 4:
$% MathType!MTEF!2!1!+- % feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaiqaaqaabe % qaaiaaiIdacaWG4bWaaSbaaSqaaiaaikdaaeqaaOGaeyypa0JaaGim % aaqaaiaadIhadaWgaaWcbaGaaGymaaqabaGccqGHsislcaaIYaGaam % iEamaaBaaaleaacaaIYaaabeaakiabg2da9iaaicdaaaGaay5Eaaaa % aa!42C5! \[ \left\{ \begin{array}{l} 8x_2 = 0 \\ x_1 - 2x_2 = 0 \\ \end{array} \right. \] $
для 2:
$% MathType!MTEF!2!1!+- % feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaiqaaqaabe % qaaiaadIhadaWgaaWcbaGaaGymaaqabaGccqGHRaWkcaaI0aGaamiE % amaaBaaaleaacaaIYaaabeaakiabg2da9iaaicdaaeaacaWG4bWaaS % baaSqaaiaaigdaaeqaaOGaeyypa0JaaGimaaaacaGL7baaaaa!41F9! \[ \left\{ \begin{array}{l} x_1 + 4x_2 = 0 \\ x_1 = 0 \\ \end{array} \right. \] $
Скажите пожалуйста каким образом теперь определить собственные вектора?

[ewert]

Никак. Давайте начнём с того, что 4 -- откровенно не есть собственное число...

[Hitp]

$% MathType!MTEF!2!1!+- % feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqbaeqabiGaaa % qaaiaaisdacqGHsislcqaH7oaBaeaacaaI4aaabaGaaGymaaqaaiaa % ikdacqGHsislcqaH7oaBaaaaaa!3E36! \[ \begin{array}{*{20}c} {4 - \lambda } & 8 \\ 1 & {2 - \lambda } \\ \end{array} \] $
из уравнение получается, что корни равны 4 и 2.
что неправильно?

[AD]

Hitp в сообщении #278336 писал(а):

из уравнение получается, что корни равны 4 и 2.
что неправильно?

Именно это и неправильно. И понять, что неправильно, можно, даже не составляя уравнения (ибо ясно, что при подстановке обоих чисел получится не $0$, а $-8$)

[ewert]

Hitp в сообщении #278336 писал(а):

$% MathType!MTEF!2!1!+- % feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqbaeqabiGaaa % qaaiaaisdacqGHsislcqaH7oaBaeaacaaI4aaabaGaaGymaaqaaiaa % ikdacqGHsislcqaH7oaBaaaaaa!3E36! \[ \begin{array}{*{20}c} {4 - \lambda } & 8 \\ 1 & {2 - \lambda } \\ \end{array} \] $
из уравнение получается, что корни равны 4 и 2.
что неправильно?

Я не знаю, что Вы понимаете под "уравнением". Но что очевидно -- что при подстановке Ваших цифирок матрица получается треугольной, т.е. заведомо невырожденной. А это противоречит определению собственного числа.

[Hitp]

(4-l)(2-l)=0
мне надо сперва привести матрицу к диагональному виду?
если нет, то видно я чего то не понял, т.к. в примерах решается так же

[AD]

Hitp в сообщении #278342 писал(а):

мне надо сперва привести матрицу к диагональному виду?

Вам нужно определитель посчитать. Как умеете.
Рекомендуется также почитать в учебнике, что такое характеристическое уравнение.

[Hitp]

получается что я не то считал
L1=0
L2=6
получаются такие системы:
$% MathType!MTEF!2!1!+- % feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaiqaaqaabe % qaaiaadIhadaWgaaWcbaGaaGymaaqabaGccqGHRaWkcaaIYaGaamiE % amaaBaaaleaacaaIYaaabeaakiabg2da9iaaicdaaeaacaWG4bWaaS % baaSqaaiaaigdaaeqaaOGaey4kaSIaaGOmaiaadIhadaWgaaWcbaGa % aGOmaaqabaGccqGH9aqpcaaIWaaaaiaawUhaaaaa!4584! \[ \left\{ \begin{array}{l} x_1 + 2x_2 = 0 \\ x_1 + 2x_2 = 0 \\ \end{array} \right. \] $
$% MathType!MTEF!2!1!+- % feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaiqaaqaabe % qaaiabgkHiTiaadIhadaWgaaWcbaGaaGymaaqabaGccqGHRaWkcaaI % 0aGaamiEamaaBaaaleaacaaIYaaabeaakiabg2da9iaaicdaaeaaca % WG4bWaaSbaaSqaaiaaigdaaeqaaOGaeyOeI0IaaGinaiaadIhadaWg % aaWcbaGaaGOmaaqabaGccqGH9aqpcaaIWaaaaiaawUhaaaaa!4680! \[ \left\{ \begin{array}{l} - x_1 + 4x_2 = 0 \\ x_1 - 4x_2 = 0 \\ \end{array} \right. \] $
как определить вектора?(не совсем понятно)

[ewert]

Теперь с.ч. -- правильные. А для осознанного поиска с.в. -- ищите общие решения этих систем методом Гаусса.
(тут-то, конечно, он необязателен, можно и кустарно, но кустарщина приведёт к бессознательности в дальнейшем)

[Hitp]

если x2=c
то x1=-2c в первой сис,и 4с во второй системе
правильно ли что 1 вектор будет(через транслятор не копируется):
-2с
с

[ewert]

ну примерно правильно, но без поллитры ТеХа тут не разберёшься, да и для приличия следует сказать хоть пару слов про ту "цэ"

--------------------------------------
тот самый вектор следовало кодировать примерно как $\begin{pmatrix}-2c \\ c \end{pmatrix}$, копипаствуйте, наведя мышку на формулу