Исследовать на цикличность группу

[milkwacko]

G - аддитивная группа целочисленных матриц порядка $m \times n,~H = \{(a_{ij}) : a_{ij} \in p_{ij}\mathbb{Z}\}$, где $p_{ij}$ - целые неотрицательные числа. Построить фактор-группу G/H и проверить, будет ли она циклической.

Фактор-группу я построил, в общем виде ее можно описать так:
$T = \{t_1, \cdots, t_k\}~S = \{s_1, \cdots, s_k\}$
$p_{ij} = 0,~\mbox{если}~i \in T\,\mbox{и}\,j \in S$
$G/H = \{(b_{ij}) + H : b_{ij} \in \mathbb Z_{p_{ij}},\,i \notin T\,\mbox{или}\,j \notin S;~~ b_{ij} \in \mathbb{Z},\,i \in T\,\mbox{и}\,j \in S\}$
Далее, очевидно, что если все $p_{ij} = 0,~\mbox{то}~G/H \cong G$, то есть циклична. Если все $p_{ij} = 1$, то $G/H = \{ H \}$, то есть опять же циклична. Кроме того, если хотя бы один $p_{ij} = 0$ (но не все), то фактор-группа не является цикличной.
Теперь пусть $\exists i,\,j,\,u,\,v :~~p_{ij} = p_{uv} \ne 1$. Не циклична, поскольку если на ij-ой и uv-ой позициях стоят одинаковые числа, то мы не получим смежных классов, в матрице которых на тех же позициях стоят разные элементы; и наоборот.
Как исследовать на цикличность, если все $p_{ij}$ различны и ни один из них не равен 0?

[milkwacko]

Вообще, есть подозрение, что циклической фактор-группа в этом случае не будет, но это чисто практические предположения.

[RIP]

milkwacko в сообщении #278301 писал(а):

Далее, очевидно, что если все $p_{ij} = 0,~\mbox{то}~G/H \cong G$, то есть циклична.

Ну где же циклична-то? Только в случае $m=n=1$.

Фактор-группу надо записать в человеческом виде $G/H\cong \bigoplus_{i,j}\mathbb Z/p_{ij}\mathbb Z$ и воспользоваться основной теоремой о конечно порождённых абелевых группах (конкретно: единственностью представления; впрочем, достаточно простых соображений здравого смысла) вкупе с простым соображением, что $\mathbb Z/mn\mathbb Z\cong\mathbb Z/m\mathbb Z\oplus\mathbb Z/n\mathbb Z$ при $(m,n)=1$.