Элементарная эквивалентность классов

[Sou1Taker]

Пусть <G,$\cdot$,1> - группа, которая содержит элементы любого конечного порядка n$\ge$1. Доказать, что существует <H,$\cdot$,1>, элементарно эквивалентно <G,$\cdot$,1>, которая сожержит элемент бесконечного порядка. (элемент бесконечного порядка = элемент нулевого порядка.)

Идея такова. Введем формулу $\gamma_n$ которая задает существование элемента конечного порядка n. Тогда в нашей исходной группе <G,$\cdot$,1> выполнимо множество предложений Г=(Ф(аксиомы группы) $\cup\ \gamma_n | n \in \omega$).
Возьмем конечное подмножество г$\in$Г. Т к г конечно то сущ такое m$\in$N такое что множество формул г$\in$Ф$\cup\ \gamma_i|i\in[1..m]$. Т к г выполнимо на <H,$\cdot$,1> то Г локально выполнимо и по теореме Мальцева оно выполнимо на <H,$\cdot$,1>. Выходят что две алгебраические системы имеют одну и ту же полную теорию следовательно они элементарно эквивалентны.

Есть ли ошибки в этом доказательстве? Заранее спасибо.