2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 предел
Сообщение07.01.2010, 13:34 
$
\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (x)}}{{ctg(x)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x\ln (x)
$
а что дальше то??

 
 
 
 Re: предел
Сообщение07.01.2010, 13:39 
Не дальше, а перед этим -- правило Лопиталя.

 
 
 
 Re: предел
Сообщение07.01.2010, 13:48 
ewert в сообщении #278216 писал(а):
Не дальше, а перед этим -- правило Лопиталя.

мне без Лопиталя...

 
 
 
 Re: предел
Сообщение07.01.2010, 13:57 
Без Лопиталя -- грубо говоря, никак. Т.е. можно, но любой "ручной" способ нахождения пределов типа "икс на логарифм" будет явным извращением. Ну разве что от вас требуют просто зазубрить, что этот предел равен нулю.

 
 
 
 Re: предел
Сообщение08.01.2010, 10:05 
Может, как-нибудь так:
$\lim\limits_{x \to 0} x \ln x = \lim\limits_{x \to 0} x \ln(1 + (x - 1)) =
\\
\\
= \lim\limits_{x \to 0} ((x - 1) + 1) ((x-1) + o(x - 1)) =
\\
\\
= \lim\limits_{x \to 0} [(x - 1)^2 + o((x - 1)^2) + x - 1 + o(x - 1)] =
\\
\\
=  \lim\limits_{x \to 0} [(x - 1)^2 + o((x - 1)^2)] +  \lim\limits_{x \to 0} [x - 1 + o(x - 1)] = 0 + 0 = 0$

Подойдет?

 
 
 
 Re: предел
Сообщение08.01.2010, 10:24 
Не подойдёт. Что такое "$o(x-1)$", когда икс стремится не к единице?...

На мой взгляд, наиболее естественный способ "ручного" доказательства таков. Предел $\lim\limits_{x\to0}x\,\ln x$ достаточно очевидным образом сводится к $\lim\limits_{t\to+\infty}\dfrac{2^t}{\sqrt t}$ (иметь дело с показательными функциями приятнее, чем с логарифмами). Чтобы доказать, что последний предел бесконечен, достаточно получить оценку $2^t>t$ при всех достаточно больших $t$. В силу монотонности достаточно показать, что $2^n>n+1$ при всех достаточно больших целых $n$. Ну последнее очевидно по индукции.

Только в рамках предложенного учебного примера вся эта возня выглядит несколько неуместной: вот просто есть такой факт, что $\lim\limits_{x\to0}x\,\ln x=0$ -- и всё тут.

 
 
 
 Re: предел
Сообщение08.01.2010, 11:02 
ГДЕ ТУТ??? :D

 
 
 
 Re: предел
Сообщение08.01.2010, 11:08 
Тут -- это в рамках данной задачи. Нелепо при решении учебных задач каждый раз заново возиться с одним и тем же стандартным пределом (пусть официально и не называемым "замечательным").

 
 
 [ Сообщений: 8 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group