предел

[ИвановЭГ]

$ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (x)}}{{ctg(x)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x\ln (x) $
а что дальше то??

[ewert]

Не дальше, а перед этим -- правило Лопиталя.

[ИвановЭГ]

ewert в сообщении #278216 писал(а):

Не дальше, а перед этим -- правило Лопиталя.

мне без Лопиталя...

[ewert]

Без Лопиталя -- грубо говоря, никак. Т.е. можно, но любой "ручной" способ нахождения пределов типа "икс на логарифм" будет явным извращением. Ну разве что от вас требуют просто зазубрить, что этот предел равен нулю.

[Kafari]

Может, как-нибудь так:
$\lim\limits_{x \to 0} x \ln x = \lim\limits_{x \to 0} x \ln(1 + (x - 1)) = \\ \\ = \lim\limits_{x \to 0} ((x - 1) + 1) ((x-1) + o(x - 1)) = \\ \\ = \lim\limits_{x \to 0} [(x - 1)^2 + o((x - 1)^2) + x - 1 + o(x - 1)] = \\ \\ = \lim\limits_{x \to 0} [(x - 1)^2 + o((x - 1)^2)] + \lim\limits_{x \to 0} [x - 1 + o(x - 1)] = 0 + 0 = 0$

Подойдет?

[ewert]

Не подойдёт. Что такое "$o(x-1)$", когда икс стремится не к единице?...

На мой взгляд, наиболее естественный способ "ручного" доказательства таков. Предел $\lim\limits_{x\to0}x\,\ln x$ достаточно очевидным образом сводится к $\lim\limits_{t\to+\infty}\dfrac{2^t}{\sqrt t}$ (иметь дело с показательными функциями приятнее, чем с логарифмами). Чтобы доказать, что последний предел бесконечен, достаточно получить оценку $2^t>t$ при всех достаточно больших $t$. В силу монотонности достаточно показать, что $2^n>n+1$ при всех достаточно больших целых $n$. Ну последнее очевидно по индукции.

Только в рамках предложенного учебного примера вся эта возня выглядит несколько неуместной: вот просто есть такой факт, что $\lim\limits_{x\to0}x\,\ln x=0$ -- и всё тут.

[Kuzya]

ГДЕ ТУТ???

[ewert]

Тут -- это в рамках данной задачи. Нелепо при решении учебных задач каждый раз заново возиться с одним и тем же стандартным пределом (пусть официально и не называемым "замечательным").