2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 предел
Сообщение07.01.2010, 13:34 


08/05/08
159
$
\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (x)}}{{ctg(x)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x\ln (x)
$
а что дальше то??

 Профиль  
                  
 
 Re: предел
Сообщение07.01.2010, 13:39 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Не дальше, а перед этим -- правило Лопиталя.

 Профиль  
                  
 
 Re: предел
Сообщение07.01.2010, 13:48 


08/05/08
159
ewert в сообщении #278216 писал(а):
Не дальше, а перед этим -- правило Лопиталя.

мне без Лопиталя...

 Профиль  
                  
 
 Re: предел
Сообщение07.01.2010, 13:57 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Без Лопиталя -- грубо говоря, никак. Т.е. можно, но любой "ручной" способ нахождения пределов типа "икс на логарифм" будет явным извращением. Ну разве что от вас требуют просто зазубрить, что этот предел равен нулю.

 Профиль  
                  
 
 Re: предел
Сообщение08.01.2010, 10:05 


26/12/09
104
Москва
Может, как-нибудь так:
$\lim\limits_{x \to 0} x \ln x = \lim\limits_{x \to 0} x \ln(1 + (x - 1)) =
\\
\\
= \lim\limits_{x \to 0} ((x - 1) + 1) ((x-1) + o(x - 1)) =
\\
\\
= \lim\limits_{x \to 0} [(x - 1)^2 + o((x - 1)^2) + x - 1 + o(x - 1)] =
\\
\\
=  \lim\limits_{x \to 0} [(x - 1)^2 + o((x - 1)^2)] +  \lim\limits_{x \to 0} [x - 1 + o(x - 1)] = 0 + 0 = 0$

Подойдет?

 Профиль  
                  
 
 Re: предел
Сообщение08.01.2010, 10:24 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Не подойдёт. Что такое "$o(x-1)$", когда икс стремится не к единице?...

На мой взгляд, наиболее естественный способ "ручного" доказательства таков. Предел $\lim\limits_{x\to0}x\,\ln x$ достаточно очевидным образом сводится к $\lim\limits_{t\to+\infty}\dfrac{2^t}{\sqrt t}$ (иметь дело с показательными функциями приятнее, чем с логарифмами). Чтобы доказать, что последний предел бесконечен, достаточно получить оценку $2^t>t$ при всех достаточно больших $t$. В силу монотонности достаточно показать, что $2^n>n+1$ при всех достаточно больших целых $n$. Ну последнее очевидно по индукции.

Только в рамках предложенного учебного примера вся эта возня выглядит несколько неуместной: вот просто есть такой факт, что $\lim\limits_{x\to0}x\,\ln x=0$ -- и всё тут.

 Профиль  
                  
 
 Re: предел
Сообщение08.01.2010, 11:02 


13/05/06
74
ГДЕ ТУТ??? :D

 Профиль  
                  
 
 Re: предел
Сообщение08.01.2010, 11:08 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Тут -- это в рамках данной задачи. Нелепо при решении учебных задач каждый раз заново возиться с одним и тем же стандартным пределом (пусть официально и не называемым "замечательным").

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group