2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Парадоксы теории множеств
Сообщение07.01.2010, 02:43 


22/10/09
404
Существуют ли в теории множеств парадоксы кроме парадоксов Рассела и Кантора?В частности,связано ли со множеством всех множеств ещё какое-либо противоречие кроме парадокса Кантора?

 Профиль  
                  
 
 Re: Парадоксы теории множеств
Сообщение07.01.2010, 14:12 


05/01/10
18
В теории множеств парадоксов много. Кроме проблемы универсального множества, отдельно стоит парадоксы связанные с аксиомой выбора(например парадокс Банаха — Тарского, где показываеться, что трёхмерный шар равносоставлен двум своим копиям). В интернете масса информации посвящённая этому.

 Профиль  
                  
 
 Re: Парадоксы теории множеств
Сообщение07.01.2010, 16:23 
Экс-модератор


17/06/06
5004
Давайте не путать только. Парадокс Рассела и прочие на него похожие являются противоречиями в некоторой конкретной теории множеств (называемой "наивной" теорией множеств), которая, тем не менее, уже давно не является общепринятой именно по причине противоречивости.

Парадоксы Банаха-Тарского и прочие не являются противоречиями, а являются вполне себе теоремами (пусть и необычными, но не вызывающими трудностей) в совсем другой теории множеств (скажем так, в аксиоматике ZFC); эта теория как раз и принята сейчас в качестве основания математики, и в ней противоречий пока не обнаружено.

 Профиль  
                  
 
 Re: Парадоксы теории множеств
Сообщение07.01.2010, 16:39 


21/06/06
1700
Мне вот как-то интуитивно кажется, что все таки в наивной теории множеств нет противоречий, а есть всего-лишь размытость определения самого понятия множеств, чем и пользуются не очень добросовестно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Парадоксы теории множеств
Сообщение07.01.2010, 17:15 


05/01/10
18
Согласен с вами. Теоремы такие есть, и названы они так же как и соответствующие парадоксы. Просто всё таки
Цитата:
Парадо́кс (от др.-греч. παράδοξος — неожиданный, странный от др.-греч. παρα-δοκέω — кажусь)

коим утверждение о шарах и является(хоть и в реальность так разрезать шар мы не сможем). В итоге, результаты, получены Банахом, Тарским и Хаусдорфом, есть и теоремой и парадоксом одновременно, в моём понимани.
Sasha2 в сообщении #278280 писал(а):
Мне вот как-то интуитивно кажется, что все таки в наивной теории множеств нет противоречий, а есть всего-лишь размытость определения самого понятия множеств, чем и пользуются не очень добросовестно.

На сколько я помню, множество - понятие первородное, как же его можно определить, аксиомы лишь показывают свойства этого объекта.

 Профиль  
                  
 
 Re: Парадоксы теории множеств
Сообщение07.01.2010, 17:20 


21/06/06
1700
Ну точно также, как и прямую в геометрии или плоскость.
Тоже ведь первородные понятия, а противоречий там, кажется до сих пор не обнаружено.
Хотя вот если начать их выворачивать также наизнанку, то наверно также можно и геометрию скомпроментировать, как и наивную теорию множеств.

 Профиль  
                  
 
 Re: Парадоксы теории множеств
Сообщение07.01.2010, 17:20 
Экс-модератор


17/06/06
5004
Ну да, Кантор достаточно размыто всё сформулировал, поэтому, собственно, его сильно критиковали. Сейчас его текст можно довести до ума (ну то есть аппарат матлогики уже достаточно развит), но при этом как раз и появляются противоречия. Как-то так.

-- Чт янв 07, 2010 17:21:39 --

Sasha2 в сообщении #278293 писал(а):
Хотя вот если начать их выворачивать также наизнанку, то наверно также можно и геометрию скомпроментировать, как и наивную теорию множеств.
Ну еще Гильберт геометрию формализовал. То есть строго изложил. Поэтому даже называется так - аксиоматика Гильберта. Противоречий в геометрии - не больше, чем в арифметике вообще.

 Профиль  
                  
 
 Re: Парадоксы теории множеств
Сообщение07.01.2010, 17:37 


21/06/06
1700
А мне все-таки кажется, что противоречия эти достаточно искусственные.
Но вот хотя бы этот знаменитый парадокс с цирюдьником, который бреет всех, кто себя сам не бреет.
Применительно к каждому мужику из этого села можно написать:
Васю_1 бреет цирюльник, если Вася_1 не бреется сам.
Васю_2 бреет цирюльник, если Вася_2 не бреется сам.
и так далее
Васю_n бреет цирюльник, если Вася_n не бреется сам.

В конечном счете получим, что
Цирюльник бреет цирюльника, если цирюльник не бреется сам. Или более грубо, расшифровав, Цирюльник бреет цирюльника, если цирюльник не бреет цирюльника.

Это как в сказке, найти то, чего не может быть. Или как в книжках с оптическими иллюзиями. Конечно и нарисовать можно, то чего не может быть, а потом голову ломать, а как такое изобразить в реальном мире.

Ну вот сказали словами такое, но это не значит, что такое может быть.
Так ведь можно, потребовать предъявить число, больше 5, которое не больше 5 и на этом основании объявить всю математику противоречивой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Парадоксы теории множеств
Сообщение07.01.2010, 17:52 
Экс-модератор


17/06/06
5004
Sasha2 в сообщении #278299 писал(а):
А мне все-таки кажется, что противоречия эти достаточно искусственные.
Ну ё-моё, ну "осовремененная" Канторова теория множеств - это язык предикатов, то бишь первого порядка, в ней формально выводится парадокс Рассела. Классификацию выводов в логике предикатов на "искусственные" и "естественные" встречаю впервые. :roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: Парадоксы теории множеств
Сообщение07.01.2010, 18:30 
Заслуженный участник


11/05/08
31922
под "искусственностью", видимо, подразумевалось вот что. Все обычные математики (в смысле -- не зацикленные на основаниях математики) вполне уютно чувствуют себя и в рамках "канторовой теории". На возникающие же в ней парадоксы -- и на попытки их преодолеть -- они смотрят не более чем с любопытством.

 Профиль  
                  
 
 Re: Парадоксы теории множеств
Сообщение07.01.2010, 20:05 


22/10/09
404
Мне придётся сделать некоторые уточнения.Под теорией множеств я имел ввиду "наивную" ТМ.А под парадоксами я понимал именно противоречия,а не неожиданные,несогласующиеся с интуицией результаты.

 Профиль  
                  
 
 Re: Парадоксы теории множеств
Сообщение07.01.2010, 22:20 


27/01/07
67
Тамбов
Из известных есть еще парадокс Бурали-Форти.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group