Сходимость подпоследовательности

[alexey007]

Как доказать, что если последовательность {$x_{n}$} - сходиться, то и любая ее подпоследовательность {$x_{p_{n}}$} тоже сходиться и имеет такой же предел.

[garin99]

По определению. Последовательность сходится, если для сколь угодно малой окрестности предельной точки найдётся номер такой, что все элементы последовательности с большим номером, чем этот, лежат в этой окрестности. Ну а подпоследовательность состоит из этих же элементов, возможно только не всех.
Осталось только осознать и перевести в строгие выкладки.