2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Доказать равномерную непрерывность функции
Сообщение06.01.2010, 21:08 


29/12/09
364
Вообщем забыл матан первого курса, учебников нет. Помогите доказать равномерную непрерывность функции $f(x)=x*sin(x)$ на отрезке от нуля до бесконечности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Забыл как делать
Сообщение06.01.2010, 21:40 


21/06/06
1721
Что то сомнительно, что это выполняется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Забыл как делать
Сообщение06.01.2010, 22:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/09
1497
Sasha2 в сообщении #278085 писал(а):
Что то сомнительно, что это выполняется.

И правильно, потому что это не выполняется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать равномерную непрерывность функции
Сообщение06.01.2010, 22:51 


06/01/10
56
а теорема Кантора: непрерывность на [a, b] => равномерная непрерывность на [a, b]? или я что-то путаю?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать равномерную непрерывность функции
Сообщение06.01.2010, 23:00 


21/06/09
60
Так ведь тут не отрезок

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать равномерную непрерывность функции
Сообщение06.01.2010, 23:02 


05/01/10
18
djuuj в сообщении #278103 писал(а):
а теорема Кантора: непрерывность на [a, b] => равномерная непрерывность на [a, b]? или я что-то путаю?

Точнее формулировка т-мы Кантора: Если ф-я непрерывная на компакте К, то она равномерно непрерывная на К. Компакт - это замкнутое ограниченное множество, коим интервал от нуля до бесконечности не является. Так что так рассуждать нельзя.
А вообще ф-я не являеться равномерно непрерывной на данном отрезке. Расмотрите 2 последовательности $x_n = \pi*n $ и $y_n = \pi*n+\frac1n$ Модуль их разницы стремиться к нулю, а модуль разницы вашей ф-ии в этих последовательностях - нет. По критерию про равномерную непрерывность ф-я на данном множестве не является равномерно непрерывной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать равномерную непрерывность функции
Сообщение06.01.2010, 23:08 


06/01/10
56
JollyRoger в сообщении #278107 писал(а):
Так ведь тут не отрезок

Но функция то непрерывна на [0, a] для сколь угодно большого положительного a? А значит и раномерно непрерывна на [0, a] для сколь угодно большого положительного a. А не это ли означает равномерную непрерывность функции на [0, +∞) ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать равномерную непрерывность функции
Сообщение06.01.2010, 23:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/09
1497
djuuj в сообщении #278109 писал(а):
А не это ли означает равномерную непрерывность функции на [0, +∞) ?

Нет

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать равномерную непрерывность функции
Сообщение06.01.2010, 23:30 


29/12/09
364
А разве, нельзя ли так доказать, что если для любого e>0 существует d=e>0, что для любых x и y $\in[0,+\infty)$ и |x-y|<=|x|+|y|<e, будет |xsin(x)-ysin(y)|<=|xsin(x)|+|ysin(y)|<=|x|+|y|<e, таким образом будет доказана равномерная непрерывность. Я может бред несу подскажите в чем ошибка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать равномерную непрерывность функции
Сообщение06.01.2010, 23:37 


05/01/10
18
alexey007 в сообщении #278113 писал(а):
|x-y|<=|x|+|y|<e

По-моему, неверно в части про это, ведь вам по предположению известно, что |x-y|<e, и верно |x-y|<=|x|+|y|, но это не значит что и |x|+|y|<e.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать равномерную непрерывность функции
Сообщение06.01.2010, 23:44 


06/01/10
56
meduza в сообщении #278111 писал(а):
djuuj в сообщении #278109 писал(а):
А не это ли означает равномерную непрерывность функции на [0, +∞) ?

Нет

∀ x1, x2 Є [0, +∞) ∃ a>0 : x1, x2 Є [0, a] ⇒ ∀ ε >0 ∃ δ(ε)>0 |f(x1)-f(x2)|<ε
⇒ f равномерно-непрерывна на [0, +∞)

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать равномерную непрерывность функции
Сообщение07.01.2010, 00:37 


21/06/09
60
djuuj в сообщении #278120 писал(а):
meduza в сообщении #278111 писал(а):
djuuj в сообщении #278109 писал(а):
А не это ли означает равномерную непрерывность функции на [0, +∞) ?

Нет

∀ x1, x2 Є [0, +∞) ∃ a>0 : x1, x2 Є [0, a] ⇒ ∀ ε >0 ∃ δ(ε)>0 |f(x1)-f(x2)|<ε
⇒ f равномерно-непрерывна на [0, +∞)

Приведите $ \delta $ для $ \varepsilon = 0.01 $ такой, чтобы из $ |x - x_0| < \delta $ следовало $ |x \sin x - x_0 \sin x_0 | < 0.01 $

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать равномерную непрерывность функции
Сообщение07.01.2010, 00:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/09
1497
djuuj
У вас $\delta$ зависит ещё от какого-то $a$, а должна только от $\varepsilon$. Если следовать вашей логике, то любая непрерывная функция на интервале будет равномерно непрерывной на нем.

Для доказательство того, что $x\sin x$ не является равномерно непрерывной на $[0,\infty)$ достаточно взять точки $x'_n=\pi n,\ x''_n=\pi n + \frac 1 n$ и посмотреть на пределы $\lim\limits_{n\to\infty}|x'_n-x''_n|$ и $\lim\limits_{n\to\infty}|f(x'_n)-f(x''_n)|$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать равномерную непрерывность функции
Сообщение07.01.2010, 00:58 


06/01/10
56
а, понял ошибку: для разных отрезков разные δ

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group