Задача по планиметрии на построение

[george239]

Народ, кто-нибудь умеет строить треугольник по трем высотам (т.е. даны длины высот треугольника, нужно циркулем и линейкой построить сам треугольник)?

[oldcat]

Смотри сюда: пусть высоты это h1, h2 и h3, а стороны искомого треугольника - AB, BC и AC. Тогда

h1*АB=h2*BC=h3*АC;

поскольку каждое из произведений - суть удвоенная площадь искомого треугольника. Начерти теперь окружность произвольного радиуса и выбери точку О вне её. Проведя из этой точки дугу раствором циркуля, равным высоте h1, получишь в качестве пересечения с окружностью точку А, лежащую на окружности так, что отрезок ОА=h1. Аналогично строишь точки B: ОB=h2 и C: ОC=h3. Проведя секущие ОА, ОB и ОC дальше до пересечения с окружностью в точках соответственно D, Е и F, получишь хорды АD, BЕ и CF. Есть теорема, которая утверждает, что:

ОА*АD=ОB*BЕ=ОC*CF;

Построив треугольник по трём сторонам АD, BЕ, CF получишь треугольник, подобный искомому, останется только перечеркнуть его прямой, параллельной основанию, и отстоящей от него на расстоянии, равном h1 (если это основание АD).

[george239]

Круто! Спасибо!