мне просто это нужно для того что бы показать что в квантовой механике оператор должен быть именно самосопряженным а не только эрмитовым
А просто приведите как контрпример стандартный оператор импульса на полуоси. Который (с нулевым граничным условием в нуле) симметричен, но вовсе не самосопряжён, и в принципе не может быть расширен до самомопряжённого. Что вполне соответствует тому, что что импульс частицы на полуоси -- физически ненаблюдаем.