Доказать неравенство

[Mizhail]

Здравствуйте, господа.

Вот уже около двух часов сижу и не могу решить такое нер-во:

$ \frac {a^2} {1+ a^4} + \frac {b^2} {1+ b^4} + \frac {c^2} {1+ c^4} \leqslant 1,5 $

Подскажите, пожалуйста, каким образом его решать?

[ShMaxG]

Докажите для начала, что $\[\frac{{{a^2}}} {{1 + {a^4}}} \leqslant \frac{1} {2}\]$ (подсказка - полный квадрат).

[Mizhail]

О! Большое спасибо.

$ \frac {a^2} {1+a^4} \leqslant \frac 1 2 $

$ \frac {2a^2 - 1 - a^4} {2(1+a^4)} \leqslant 0 $

$ \frac {-(a^2-1)^2} {2(1+a^4)} \leqslant 0 $

А т.к. $ -(a^2-1)^2 \leqslant 0 $ и $ 2(1+a^4) > 0 $ , то

$ \frac {-(a^2-1)^2} {2(1+a^4)} \leqslant 0 $

Аналогично, $ \frac {b^2} {1+b^4} \leqslant \frac 1 2 $ и $ \frac {c^2} {1+c^4} \leqslant \frac 1 2 $

А значит $ \frac {a^2} {1+ a^4} + \frac {b^2} {1+ b^4} + \frac {c^2} {1+ c^4} \leqslant 1,5 $

Благодарю.

[Mizhail]

Вот ещё одно нашёл, но решить опять не могу.

$ a^2b^2 + b^2c^2 + a^2c^2 \geqslant abc(a+b+c) $

Каким образом его решать?

[jetyb]

$a^2b^2+b^2c^2\geqslant 2b^2ac$

[Mizhail]

Извинияюсь, но мне это ни о чём не говорит.

[Полосин]

Разделите обе части неравенства на $(abc)^2$ и воспользуйтесь неравенством $\dfrac2{ab}\le\dfrac1{a^2}+\dfrac1{b^2}$.

[mitia87]

Или заметьте, что это всего-навсего неравенство $x^2 + y^2 \geq 2xy, \text{где } x = ab, y = bc$.

[Sasha2]

А еще проще, так это просто записаеть правую часть в виде
$(ab)(bc)+(bc)(ac)+(ac)(ab)$