2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Геометрическая прогрессия
Сообщение31.12.2009, 17:55 


26/12/09
104
Москва
Здравствуйте!
Помогите, пожалуйста, доказать, что сумма первых членов убывающей геометрической прогрессии сходится.
Вот у меня сумма:
$S_n = b + bq + bq^2 + bq^3 + bq^4 + ... + bq^n$
Первая моя идея была доказать, что $S_n - S_{n-1} < S_{n+1} - S_n$
То есть $bq^{n+1} - bq^n < bq^{n+2} - bq^{n+1}$
Или то же: $1 - 1/q < q - 1$
что вообще-то не очевидно.
Подскажите, что дальше делать, если не трудно!

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическая прогрессия
Сообщение31.12.2009, 18:23 


30/12/09
95
Сходимость очевидна по признаку Даламбера сходимости ряда.
Или вам нужно доказать сам признак Даламбера?

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическая прогрессия
Сообщение31.12.2009, 18:26 


26/12/09
104
Москва
Цитата:
Сходимость очевидна по признаку Даламбера сходимости ряда

Э-э... А я даже не знаю такой)) Не проходили... Я только первый курс пока...
Если не сложно, покажите, ну или я погуглю...
А доказать мне нужно просто то, что сумма первых членов сходится. То есть что сходится последовательность $S_1, S_2, ... S_n$ при $n$ --> бесконечности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическая прогрессия
Сообщение31.12.2009, 18:36 


30/12/09
95
Kafari в сообщении #276753 писал(а):
Э-э... А я даже не знаю такой)) Не проходили... Я только первый курс пока...
Если не сложно, покажите, ну или я погуглю...

Хорошо, а что вы уже проходили? Критерий Коши проходили?
Если проходили то выпишите сумму для $n$-ой частичной суммы и $n+p$-ой и сразу же увидите чем ограничивется разность при $|q|<1$

Что касается признака Даламбера, на самом деле ваша последовательность это ряд, а для рядов имеются несколько хорошо известных критериев сходимости.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическая прогрессия
Сообщение31.12.2009, 18:50 


26/12/09
104
Москва
Критерий Коши проходили, конечно! А вот ряды нет...

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическая прогрессия
Сообщение31.12.2009, 18:51 


12/02/09
50
В школе должны были проходить следующую формулу $S_n=b\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$, с ней всё доказывается элементарно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическая прогрессия
Сообщение31.12.2009, 19:55 


26/12/09
104
Москва
Может, и проходили... Просто мне как-то не хотелось бы принимать это на веру, но откуда берется эта формула? Ее можно вывести?

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическая прогрессия
Сообщение31.12.2009, 20:04 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Kafari в сообщении #276766 писал(а):
...откуда берется эта формула? Ее можно вывести?

$$
(q-1)(q^n + q^{n-1} + \ldots + q + 1) = (q^{n+1} + q^n + \ldots + q^2 + q) - (q^n + q^{n-1} + \ldots + q + 1) = q^{n+1} - 1
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическая прогрессия
Сообщение31.12.2009, 20:29 


26/12/09
104
Москва
Спасибо большое! :D

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group