Задача на производную

[Kafari]

Здравствуйте!
У меня вот такая задача: используя теорему о производной сложной функции и тождество $ f ( f ^-1 (y)) = y $, выведите формулу для производной обратной функции.
Вот я записываю:
$y = f(x)$

$x = f^{-1} (y)$

$f ' (x) = [f (f^{-1}(y))] ' = f ' (x) * (f^{-1}(y)) '$

Но я понимаю, что это бред. Где может быть ошибка?

[RIP]

Нету никакой ошибки. Просто $f^{-1}(y)=x$, поэтому производная по иксу от этого дела равна 1.

-- Ср 30.12.2009 14:07:04 --

Продифференцируйте равенство $f\bigl(f^{-1}(y)\bigr)=y$ по $y$.

[mitia87]

$1 = y' = [f (f^{-1}(y))] ' = f ' (x) * (f^{-1}(y)) '$

[Kafari]

Спасибо всем, кто откликнулся! Вот так у меня получилось:
$\frac {d [ f ( f^{-1}(y))]} {dy} = \frac {dy} {dy}$

$\frac {d ( f(x))} {dy} * \frac {d ( f^{-1}(y))} {dy} = 1$

$f ' (x) * \frac {d ( f^{-1}(y))} {dy} = 1$

Я правильно понимаю, что $\frac {d ( f^{-1}(y))} {dy} $ - это и есть производная обратной функции? Только почему по dy?

[Алексей К.]

Из каких-то частных соображений (Вам особенно понятных) мы аргумент функции обозначили нестандартно, буковкой y, и функцию дифференцируем непосредственно по её аргументу:
Hack attempt!

-- 30 дек 2009, 15:39 --

Возьмите конкретно, например, $y=f(x)=e^x$, $g=f^{-1}=\ln$, $g(y)=\ln y$, ($g(x)=\ln x$), $g'(y)=1/y$, ($g'(x)=1/ x $)...

[Kafari]

Да, понятно, спасибо)) я туплю