Интервал существования решения д.у.

[trostewus]

Дана задача Коши $\[\frac{{dy}}{{dx}} = {y^2} + {x^2},y(0) = 0\]$
Нужно оценить интервал, на котором будет существовать решение.
Maple рисует это решение от $-2.0031472$ до $2.0031472$...подскажите пожалуйста идейку, как в этом можно убедиться?..

[V.V.]

Теорему Коши-Липшица изучать не пробовали?
С её помощью можно оценить интервал, на котором решение существует. Правда, он вряд ли будет такой большой, как показывает Maple, но какую-то оценку получить можно.

[jetyb]

Как это считает Maple - не знаю, но у вас написано хорошо изученное уравнение Риккати.

[Gafield]

Получить *какую-то* оценку сверху можно так. Разбить интервал $[0,2]$ на $[0,a]$ и $[a,2]$. На первом рассмотреть задачу $z_1'(x)=x^2$, $z_1(0)=0$, а на втором $z_2'(x)=z_2(x)^2$, $z_2(a)=z_1(a)$. Посколько $y(x)\ge z_2(x)$ на $[a,2]$, то это и даст некоторую оценку. Если нужен результат поточнее, то надо подобрать $a$ так, чтобы решение $z_2$ при $x\ge a$ обращалось в бесконечность как можно ближе к нулю.

[trostewus]

В вышеупомянутой т-ме Коши-Липшица говорится, что решение будет определено на отрезке $\[\left| {x - {x_0}} \right| \le h\]$, где $\[{\rm{h = min(a}}{\rm{,}}\frac{b}{M}{\rm{)}}\]$, точка $\[({x_0},{y_0})\]$ (в нашем случае - $\[(0,0)\]$) помещена в какой-то компакт $\[R:\left| {x - {x_0}} \right| \le {\rm{a}}{\rm{, }}\left| {y - {y_0}} \right| \le b,{\rm{ }}M = \max (f(x,y))\]$ (максимум по этому компакту - в нашем случае $\[{\rm{ }}M = {a^2} + {b^2}\]$)
Получается нужно подобрать такие $\[{\rm{a}}\]$ и $\[{\rm{b}}\]$, чтобы $\[{\rm{h}}\] $ было максимальным...Я подобрал пока $\[h = \frac{1}{2}\]$.
Верен ли ход рассуждений..?