непределенный интеграл

[asker -ololo]

Прошу помощи в решении сабжей, т.к. даже не знаю, как к ним подступиться =(

• $\int{x^2\sin4x\ dx}=$
• $\int{\frac{\sin{x}\ dx}{\sqrt[3]{3+2\cos{x}}}}=$
• $\int{\frac{(\sqrt[6]x+1)\ dx}{\sqrt[6]x^7+\sqrt[6]x^5}}=$

[Jnrty]

1) Интегрирование по частям.
2)Подведение под дифференциал.
3)Подстановка, чтобы избавиться от корней шестой степени.

По правилам данного раздела, дальнейшие подсказки будут только после того, как Вы продемонстрируете собственные попытки решения.

[Алексей К.]

asker -ololo,
попробуйте команду \dfrac вместо \frac. Читабельнее будет: $\sqrt{\frac{1}{1+\sqrt[6]{x^5}}$ и $\sqrt{\dfrac{1}{1+\sqrt[6]{x^5}}$

[asker -ololo]

Вот что получилось для интеграла №1:

$\int{x^2\sin{4x}\ ddx=-\dfrac14x^2\cos{4x}+\int{\dfrac14\cos{4x}2x\ dx}=-\dfrac14x^2\cos{4x}+\dfrac12(\dfrac14\sin{4x}x-\int{\dfrac14\sin{4x}\ dx= \dfrac{1}{32}\cos{4x}(-8x^2+4x\tg{4x} +1) +C$

[Sonic86]

Угу, правильно.
Обычно многочлены в произведении с тригонометрическими функциями пишут слева, чтобы с аргументом тригонометрических не путать.
Давайте дальше.

[asker -ololo]

Интеграл №2:
$\int\dfrac{\sin{x}\ dx}{\sqrt[3]{3+2\cos{x}}}= -\int\dfrac{dU}{\sqrt[3]{3+2U}}= -\int(3+2U)^{-\frac{1}{3}}\ dU= -\dfrac12\int(3+2U)^{-\frac{1}{3}}\ d(3+2U)= -\dfrac34(3+2\cos{x})^{\frac23}+C$

так?

[Sonic86]

Подсказка: упростите $d(A \cdot f(x)+B)$.

[asker -ololo]

$-\int(3+2U)^{-\frac{1}{3}}\ dU= -\dfrac12\int(3+2U)^{-\frac{1}{3}}\ d(3+2U)= -\dfrac34(3+2\cos{x})^{\frac23}+C$

так?

-- Ср дек 30, 2009 12:24:06 --

интеграл №3:

$\int\dfrac{(\sqrt[6]{x}+1)\ dx}{\sqrt[6]{x^7}+\sqrt[6]{x^5}}=(\sqrt[6]{x}=t)=\int\dfrac{(t+1)\ dt^6}{t^7+t^5}=$

подстановка такого рода?

[Sonic86]

Да, №2 правильно, в №3 такая подстановка.

[asker -ololo]

$\int\dfrac{(\sqrt[6]{x}+1)\ dx}{\sqrt[6]{x^7}+\sqrt[6]{x^5}}=(\sqrt[6]{x}=t)=\int\dfrac{(t+1)\ dt^6}{t^7+t^5}= \int\dfrac{6t^5(t+1)\ dt}{t^5(t^2+1)}= \int\dfrac{6(t+1)\ dt}{t^2+1}= 6(\arctg{t}+\int\dfrac{t\ dt}{t^2+1})= 6\arctg{t}+3\int\dfrac{d(t^2+1)}{t^2+1}= 6\arctg{\sqrt[6]{x}}+3\ln{|\sqrt[6]{x}|}+C=$

???

[Sonic86]

$t$ вносите под дифференциал. Этот интеграл запомните.

[asker -ololo]

$ 6(\arctg{t}+\int\dfrac{t\ dt}{t^2+1})= 6\arctg{t}+3\int\dfrac{d(t^2+1)}{t^2+1}= 6\arctg{\sqrt[6]{x}}+3\ln{|\sqrt[6]{x}|}+C$

таким образом?

[Алексей К.]

Нет: $\displaystyle\int \dfrac{d(t^2+1)}{t^2+1}=\ln{|1+t^2|}+C=\ln({\color{magenta}\mathbf{1}}+t^{\color{blue}\displaystyle2!})+C$.

[asker -ololo]

В таком случае, окончательный ответ:

$\int\dfrac{(\sqrt[6]{x}+1)\ dx}{\sqrt[6]{x^7}+\sqrt[6]{x^5}}= 6\arctg\sqrt[6]{x}+3\ln(\sqrt[3]{x}+1)+C$

?

[Алексей К.]

Yes.
Ну, и полезное наблюдение: 5 лишних минут на пущую внимательность потом экономят кучу времени. Особенно при форумном способе решения.