производная функции

[asker -ololo]

Друзья помогите разобраться...

Исследую функцию $y=(4x^3) / (x^3-1)$
производная получилась - $y`=(12x^2) / (x^3-1)^2$


и все бы ничего, но значения этой производной всегда >0, а функция таки постоянно убывает

?????

[PAV]

Тема перемещена из "Помогите решить/разобраться" в карантин. Почему это произошло, можно понять, прочитав тему
Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться
Там же описано, как исправлять ситуацию.

(оформление формул)

[AKM]

PAV в сообщении #275690 писал(а):

Там же описано, как исправлять ситуацию.

Полагаю, Вы, автор, этого не заметили: там написано, как уведомить модераторов.
Я же, случайно заметив, что формулы исправлены, тему возвращаю.

-- Вс дек 27, 2009 20:02:02 --

Ошибка: $y'={\color{red}-}\dfrac{12x^2}{(x^3-1)^2}$.
Код: $y'=-\dfrac{12x^2}{(x^3-1)^2}$

[asker -ololo]

AKM, спасибо!
Вы правы.....

Обидно, досадная ошибка.
Однако, позвольте продолжить:
первая производная -> $y'=-\dfrac{12x^2}{(x^3-1)^2}$

вторая производная -> $y''=\dfrac{48x^7-24x^4-24x}{(x^3-1)^4}=\dfrac{24x(2x^6-x^3-1)}{(x^3-1)^4}$
так?
$y''=0 при x=0
$y'' не существует при x=1

И до, и после точки x=0 вторая производная $y''<0
Значит подряд идут две выпуклости? И что тогда в точке x=0?

Буду очень благодарен за помощь =)

[AKM]

asker -ololo в сообщении #275888 писал(а):

вторая производная -> $y''=\dfrac{48x^7-24x^4-24x}{(x^3-1)^4}=\dfrac{24x(2x^6-x^3-1)}{(x^3-1)^4}$
так?
......
И до, и после точки $x=0$ вторая производная $y''<0$ --- С чего бы это??? --АКМ
Значит подряд идут две выпуклости? И что тогда в точке $x=0$?

Я сейчас (в рабочее время) не могу себе позволить глубже копнуть, и даже не проверяю вторую производную.
Но, если Вы её взяли правильно, то в при переходе через ноль она очевидно меняет знак:
$y''=\dfrac{24x(2x^6-x^3-1)}{(x^3-1)^4}=\dfrac{24x(\mbox{\tiny$2x^6$}-\mbox{\tiny$x^3$}-1)}{(\mbox{\tiny$x^3$}-1)^4}\sim\dfrac{24x(0-1)}{(0-1)^4}$ (бесконечно малыми символами нарисованы величины, исчезающие на фоне единички).
Аналогичным образом, очевидно, что функция вблизи нуля ведёт себя как кубическая парабола $y=-4x^3$, т.е. имеет точку перегиба и меняет характер выпуклости.
Происходит ли это где-нибудь ещё --- Вам подскажет простенькое уравнение $2x^6-x^3-1=0$, которое Вы уже наверняка решили и сопоставили результат с графиком функции, полагаю, давно Вами нарисованным.
Ведь Вы же не сидите сложа ручки в ожидании, пока...

-- Пн дек 28, 2009 13:18:11 --

Выпуклость-вогнутость называют также выпуклостью вверх и выпуклостью вниз.

[asker -ololo]

Разумеется, не жду =)
вторая призводная $y''=0$ также при $x=-0.79$
это корень уравнения $2x^6-x^3-1=0$

$x=-0.79$ и $x=0$ - точки перегиба

=)

[ушел решать интегралы, так что не прощаюсь =))) ]

[AKM]

Цитата:

вторая призводная $y''=0$ также при $x=-0.79$

Не принято точные значения подменять приближёнными. Точные значения имеют приоритет для математика (для домохозяйки --- приближённые). Если уж очень хочется, то
x=\sqrt[3]{то, из чего куб. корень}\approx -0.79: $x=\sqrt[3]{\strut\ldots}\approx -0.79$

Цитата:

это корень уравнения $2x^6-x^3-1=0$

А второй корень зря просто так выкинули и забыли. Небось, не случайно он равен 1 и попадает в точку развыва. Разложите многочленчик на множители, коли уж корни нашли (не гарантирую, что сгодится --- полное условие задачи не приведено).

Цитата:

ушел решать интегралы,

Не ходите туда: интегралы НЕ РЕШАЮТ! (См., например, Собрание Сочинений автора ewert, --- любое из сообщений в последнем, 10-м томе).