Задача на нахождение радиуса.

[NOX]

Задача:
В окружности проведены 2 хорды: АВ=3 и АС=2. Длина дуги АС в 2 раза больше длины дуги АВ. Найдите радиус окружности.

[ewert]

А почему она олимпиадная? Просто найдите для начала углы.

[NOX]

ewert писал(а):

А почему она олимпиадная?

потому что попалась мне на олимпиаде, вот решил вспомнить на досуге от нечего делать

ewert писал(а):

Просто найдите для начала углы.

каким образом?

[ewert]

Молча. Нарисуйте два равнобедренных треугольника с вершинами в центре окружности и учтите, что угол в первом из них ровно в два раза больше, чем во втором. Получите, говоря формально, систему из двух простеньких уравнений -- для радиуса и для угла.

[Профессор Снэйп]

Ну да, $R = 4/\sqrt{7}$. Совсем простенькая задача, ничего олимпиадного.

[NOX]

у меня получилось 2корня из 2 (корень из 8)
А говорили простенькая.

[ewert]

NOX в сообщении #275631 писал(а):

у меня получилось 2корня из 2 (корень из 8)
А говорили простенькая.

Неверно получилось.
Но это ещё не означает, что она сложненькая.

[NOX]

у меня получилось такое отношение

правильно ли?

[ewert]

Не знаю, лень думать. Но правильная (и очевидная) система -- такая: $\begin{cases}{3\over2}=R\cdot\sin2\varphi, \\ {2\over2}=R\cdot\sin\varphi.\end{cases}$

[Батороев]

Насколько я понял условие задачи, то она эквивалентна:

Дан равнобедренный треугольник ABC с основанием АС=2, боковыми сторонами АВ=ВС=3. Найти радиус описанной окружности.

Если - так, то ответ, вроде бы: $R=\dfrac {9\sqrt{2}}{8}$.

[ewert]

Да Пр.Сн. давно уж правильный ответ дал, чего уж его и выискивать. Разве что сверяться с ним (ответом) можно.

[NOX]

Батороев
ВС не равна 3, читайте внимательнее
ewert
И что мы получаем?
выразим R из второго уравнения получим R=1/sina
подставим в первую и получим 1.5=(1/sina)*sin2a
sin2a=2sina*cosa
1.5=(1/sina)*(2sina*cosa)
1.5=2cosa
cosa=0.75
R=1/0.75=1.3
О_о

[Батороев]

NOX в сообщении #275669 писал(а):

Батороев
ВС не равна 3, читайте внимательнее

Нарисуйте картинку задачи, которую я сформулировал, и объясните, в чём она противоречит условию исходной задачи?

[ewert]

да я не знаю, чего мы там хотим получить, но разделив первое на второе -- автоматически получим косинус, ну и т. д.

А что хотел сказать Батороев -- я, кажется, догадываюсь. Но если это и впрямь так -- то это откровенная провокация со стороны составителя, причём неспортивная. В приличном обществе под дугами, стягиваемыми хордами, принято подразумевать кратчайшие.

[Батороев]

ewert в сообщении #275672 писал(а):

А что хотел сказать Батороев -- я, кажется, догадываюсь. Но если это и впрямь так -- то это откровенная провокация со стороны составителя, причём неспортивная. В приличном обществе под дугами, стягиваемыми хордами, принято подразумевать кратчайшие.

ewert
Спасибо, а то я уж начал в себе копаться - все ли на месте?