2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Исследование на сходимость ряда.
Сообщение26.12.2009, 20:08 


26/12/09
6
Здравствуйте. Подайте, пожалуйста, идею какую-нибудь.

Необходимо исследовать на сходимость ряд:
$\sum_{n=3} \frac{a_n}{n\ln(n+1)}$
где ${a_n}=1$ при n=5k+1,n=5k+2
и ${a_n}=-1$ при n=5k,n=5k-1,n=5k-2.

Я могу сказать, что он не сходится абслолютно (использую интегральный признак), но вот то, что он вообще расходится - тут стопор... заранее благодарю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование на сходимость ряда.
Сообщение26.12.2009, 20:17 


25/12/08
184
ну как это?
Вы берете модуль $\frac{1} {nln(n+1)}$ получается, в знаменателе степень $n >1$ засчет логарифма, мне кажется что он сходится

А по поводу условной сходимости, можно попробывать применить признак Лейбница

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование на сходимость ряда.
Сообщение26.12.2009, 20:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5917
Новосибирск
Подскажу. А что если бы было $a_n=0$ при $n=5k$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование на сходимость ряда.
Сообщение26.12.2009, 23:43 


26/12/09
6
О, ozhigin - это, конечно, Дима-одногруппник?:)
Нет, Дим. Он расходится. Я это уже доказал.:)
Но...спасибо.:)

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование на сходимость ряда.
Сообщение27.12.2009, 12:26 


25/12/08
184
не пали контору)
ну да по интегральному расходится

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование на сходимость ряда.
Сообщение29.12.2009, 10:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5917
Новосибирск
А при чём здесь интегральный? :roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование на сходимость ряда.
Сообщение29.12.2009, 10:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
bot в сообщении #276188 писал(а):
А при чём здесь интегральный? :roll:
Я так понял, что обсуждается абсолютная (ра)сходимость.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование на сходимость ряда.
Сообщение29.12.2009, 10:42 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Не важно, и для условной расходимости потребуется интегральный признак.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование на сходимость ряда.
Сообщение30.12.2009, 05:25 
Заслуженный участник


26/12/08
678
Сгруппируйте члены ряда в частичной сумме.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование на сходимость ряда.
Сообщение31.12.2009, 16:39 


21/12/09
5
Думаю можно попробовать так: разбить исходный ряд на три "части":
первая будет содержать (5k-1)-ые и (5k+1)-ые члены исходного ряда;
вторая- (5k-2)-ые и (5k+2)-ые члены - получится два знакочередующихся и
сходящихся по Лейбницу ряда. А третья часть, т.е. ряд, составленный из
5k-ых членов исходного ряда, будет представлять собой знакоотрицательный
ряд, расходящийся так же, как расхдоится ряд из модулей (если это действительно
так, я не проверял))) Тогда исходный ряд будет расходиться как сумма двух сходящихся
и одного расходящегося ряда. =)

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование на сходимость ряда.
Сообщение31.12.2009, 18:04 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Шибко сложно. Просто сгруппируйте те члены по пятёркам. Их суммарное поведение на бесконечности очевидно, ну и т.д.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование на сходимость ряда.
Сообщение31.12.2009, 20:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5917
Новосибирск
Почему сложно? Совершенно прозрачно. На мог взгляд - это первое и самое простое, что в голову может придти. Ровно на это я и намекал:

bot в сообщении #275478 писал(а):
Подскажу. А что если бы было $a_n=0$ при $n=5k$?


А чтобы это "бы было" реализовать, надо просто выделить в отдельную сумму заведомо расходящийся ряд. Оставшийся сходится прямо по Дирихле или группировкой по Лейбницу или как сумма двух сходящихся по Лейбницу, как ToJluK пишет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование на сходимость ряда.
Сообщение01.01.2010, 09:27 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
bot в сообщении #276768 писал(а):
А чтобы это "бы было" реализовать, надо просто выделить в отдельную сумму заведомо расходящийся ряд. Оставшийся сходится прямо по Дирихле или группировкой по Лейбницу или как сумма двух сходящихся по Лейбницу, как ToJluK пишет.

Вот именно, и всё это -- некоторая возня, пусть и простая. Вместо того, чтобы тупо и грубо сказать: если $c_k=b_{5k-2}+b_{5k-1}+b_{5k}+b_{5k+1}+b_{5k+2}$, то $c_k\sim-{1\over5k\,ln5k}$ и, следовательно, ряд из $c_k$ расходится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование на сходимость ряда.
Сообщение01.01.2010, 09:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5917
Новосибирск
Я что-то в таких нюансах разбираться разучился - по-моему это одинаково тривиально.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование на сходимость ряда.
Сообщение01.01.2010, 10:21 
Заслуженный участник


11/05/08
32166

(Оффтоп)

Конечно. Однако прикиньте: а если добавить к какому-либо слагаемому слабенькую поправку, нарушающую дирихлёвость или лейбницевость?...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group