Касательные к лемнискате

[JollyRoger]

Есть лемниската, задаваемая уравнением

$$ (x^2 + y^2)^2 = 2a^2xy $$

Необходимо обоснованно ответить на вопрос: являются ли оси координат касательными к «лепесткам» лемнискаты?

График кривой можно увидеть, например, тут: http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28x%5E2+%2B+y%5E2%29%5E2+%3D+8xy

Есть бы была простая аналитическая функция $ y(x) $, то на вопрос можно было бы ответить просто: взять производную, подставить значение точки ($ x = 0 $) и проверить равна ли она нулю (касательная совпадает с осью $ Ox $) или $ \pm \infty $ («бесконечная производная», касательная параллельна оси $ Oy $).

Но я не совсем понимаю что делать в случае подобной неявной функции...

[ИСН]

Да то же самое и делать, в общем-то.

[JollyRoger]

Нужно ли пытаться получить какое-то аналитическое выражение $ y(x) $? Там получается уравнение 4-й степени, как-то неприятно...

[AKM]

Попробуйте найти вожделенную производную дифференцированием по х уравнения

$$ [x^2 + y(x)^2]^2 - 2a^2x\,y(x) =0. $$

(Сам не попробовал, но думаю получатся два нужных значения)

[ewert]

Достаточно заметить, что в полярных координатах получится уравнение $r^2=2a^2\,\cos\varphi\,\sin\varphi$. И поскольку допустимые значения угла ясно в каких пределах лежат...

[JollyRoger]

AKM в сообщении #275270 писал(а):

Попробуйте найти вожделенную производную дифференцированием по х уравнения

$$ [x^2 + y(x)^2]^2 - 2a^2x\,y(x) =0. $$

(Сам не попробовал, но думаю получатся два нужных значения)

Почему два? Получается
$ y'_x = \frac{2a^2y - 4x(x^2 + y^2)}{4y(x^2 + y^2) - 2a^2x} $

[AKM]

Я малость лопухнулся.
Обычно лемнискату задают так, что она симметрична относительно осей координат: $\infty$, а именно уравнением $(x^2+y^2)^2=2a^2(x^2-y^2)$. Соответственно, ожидал отрицательного ответа на вопрос задачи: лежачая лемниската пересекает оси координат под углом $45^\circ$ и должно было получиться $y'=\pm1$.
Ваша же лемниската повёрнута на эти самые $45^\circ$, и оси координат действительно являются её касательными, направленными под углами $0^\circ$ и $90^\circ$.
Вообще-то продолжая Ваше решение, можно к этому прийти, положив $k=y'(0)$ и $y=kx$ в окрестности нуля. Тогда

JollyRoger в сообщении #275365 писал(а):

$ y'_x = \frac{2a^2y - 4x(x^2 + y^2)}{4y(x^2 + y^2) - 2a^2x} $

превращается в

$$ k= \frac{2a^2kx - 4x(x^2 + y^2)}{4kx(x^2 + y^2) - 2a^2x}= \frac{a^2k - 2\overbrace{(x^2 + y^2)}^0}{2k\underbrace{(x^2 + y^2)}_0 - a^2}=\frac{a^2k}{-a^2}=-k\quad\Longrightarrow\quad k=0. $$

(здесь, по сути, пределы берутся). Вторую касательную ($k=\infty$) надо тоже как-то аккуратно обосновать, возможно, рассмотрев выражение $1/y'(0)$. Или аналогично, но положив $x=x(y)$ (и тогда $x'_y=1/y'_x$).

Вероятно, это не лучший способ решения (посмотрите предложение ewertа).
Также от возни сo строгими обоснованиями бесконечностей избавляют уравнения касательных в виде $y\cos\tau-x\sin\tau+L_{=0}=0$. Но здесь традиционные формулы из справочников не подойдут, ибо мы сидим в особой точке кривой ($F'_x=F'_y=0$).

[JollyRoger]

Спасибо