Здравствуйте!
Есть интересная задачка:
Необходимо доказать, что ряды
![$\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{sin(x\sqrt{n})}{n^{\alpha}}}$ $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{sin(x\sqrt{n})}{n^{\alpha}}}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/8/d/c8d468aa97f2f5e94bf5c6efa2fc482a82.png)
и
![$\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{cos(x\sqrt{n})}{n^{\alpha}}}$ $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{cos(x\sqrt{n})}{n^{\alpha}}}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/8/f/78ff5bde044de088adc498bcc1f0cf3882.png)
где
![$x\neq0$ $x\neq0$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/f/44f6c9e67c971d15fee13a6fb4b8407382.png)
схожятся при
![$\alpha>1/2$ $\alpha>1/2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/6/e/56ecaf6143645eb3794b03aafe81563c82.png)
и расходятся при
![$\alpha<1/2$ $\alpha<1/2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/8/8/c88913b5552f399bc24e667bcb64d2f382.png)
Мысли по поводу задачки:
1)Ну ясно, что при
![$\alpha>1$ $\alpha>1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d57ca3fff1557cc3102d9d7f1af23b82.png)
и
![$\alpha<0$ $\alpha<0$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/e/5/0e571f45b6c86155c13af8132066e06482.png)
проблем нет.
2) раз ряды даны вместе то наверняка их надо как-то комбинировать, хотя однин вроди несложно сводится ко второму.
3)Вся проблема вообще говоря заключается в корне под синусом, поэтому при попытках доказать оба утверждения по определению возникают проблемы с оценками.
4) Пытался воспользовать признаком Дирихле, но попытка ограничить частичные суммы ряда с общим членом
![$sin(x\sqrt{n}$ $sin(x\sqrt{n}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/7/7/c776cce871ba0e4fa6f9c464ad088da482.png)
не увенчалась успехом.
5) Так же есть идея рядки, почленное интегрирование(правомерное разумеется) которой приведет к исходным рядам. Сейчас нахожусь на этой стадии.
Вообщем уже полтары недели бьюсь, даже не знаю в каком направлении лучше двигаться.
Подскажите, пожалуйста, что лучше делать с этими рядами.