Найти кривизну и кручение неявно заданной кривой

[Gunner]

Здравствуйте. Мне нужна помощь по дифференциальной геометрии.
Найти кривизну и кручение кривой, заданной уравнениями:
$x^2 + z^2 - y^2 = 1$,
$y^2 - 2x + z = 0$
В точке (1;1;1)

Если понадобится, ответ:
кривизна - $\frac{1}{\sqrt6}$
кручение - 1
================
В общем, как я понимаю, кривая задана как пересечение двух поверхностей.
Я долго искал в интернете формулы нахождения кривизны и кручения для такого способа задания, но так и не нашел. Есть для неявного задания, но только для плоских кривых. Есть для пространственных кривых, но только в параметрической форме.

Еще была мысль параметризовать кривую, но, во-первых, получается слишком громоздко, во-вторых, непонятно, куда потом подставлять координаты точки.

[Алексей К.]

Мне тоже никогда не попадались такие формулы.
Но если Вы параметризовали кривую, то у Вас имеется то значение параметра, которому данная точка соответствует (возможно, не одно, если это точка самопересечения кривой). Вот при этом значении определяете значения всех нужных производных, и подставляете в известные Вам формулы. Таким образом, вместо трёх координат $(x,y,z)=(1,1,1)$ у Вас работает только значение параметра (будем надеяться, одно).

Параметризация у меня спросонья тоже весьма неуклюжая получилась.

-- 25 дек 2009, 09:11 --

Можно, конечно, дифференцировать неявные уравнения $F(x(t),y(t),z(t))=0$ и $G(x(t),y(t),z(t))=0$: типа $F'_x x'_t+F'_y y'_t+F'_z z'_t=0$ (в этом случае у Вас будут фигурировать именно координаты точек)... Положив дополнительно, например,

$$t=y^2\;\Longrightarrow\; 1=2yy'_t \;\Longrightarrow\; y'_t(\text{в этой точке})=\frac1{2y}=\frac12 .$$

Но там же аж третьи производные нужны. Боязно как-то.

[alekcey]

Gunner в сообщении #275003 писал(а):

Здравствуйте. Мне нужна помощь по дифференциальной геометрии.
Найти кривизну и кручение кривой, заданной уравнениями:
$x^2 + z^2 - y^2 = 1$,
$y^2 - 2x + z = 0$
В точке (1;1;1)

Если понадобится, ответ:
кривизна - $\frac{1}{\sqrt6}$
кручение - 1
================
В общем, как я понимаю, кривая задана как пересечение двух поверхностей.
Я долго искал в интернете формулы нахождения кривизны и кручения для такого способа задания, но так и не нашел. Есть для неявного задания, но только для плоских кривых. Есть для пространственных кривых, но только в параметрической форме.

Еще была мысль параметризовать кривую, но, во-первых, получается слишком громоздко, во-вторых, непонятно, куда потом подставлять координаты точки.

Избавьтесь от y путём сложения двух уравнений, получите параметризацию проекции на xoz (окружность), а потом выразите y. Кажется, у Вас будет кривая из двух ветвей… Не знаю, нужно ли будет находить значение параметра, при котором кривая проходит Вашу точку, но, если проходит, то можно…

[Gunner]

Спасибо, Алексей.
Параметризовал кривую, нашел $t$ и кривизна получилась нужная. С кручением уже не успеваю, но, как приду, сделаю и расскажу поподробнее о решении.