Дифференциальное уравнение...Зачем дано условие?

[invisible1]

$e^y\cdot dx+(\cos y+x\cdot e^y)dy=0$

Условие
$\dfrac{y}{x}=6$ Зачем оно?!

Интуиция подсказывает, что нужно решать с помощью замены $y=t\cdot x$
Но ничего путного оттуда не извлек((( (см пункт 2 и 3)
Решал так....
1)
$e^ydx+(cosy+xe^y)dy=0$

$e^yx'(y)+cosy+xe^y=0$

$x'(y)+x(y)=-e^{-y(x)}\cos \y(x)}$ (1)

a) Ищем общее решение однородного уравнения
$x'(y)+x(y)=0$

$x_1=C\cdot e^{-y(x)}$

b) Частное решение неоднородного ищем в виде

$x_2=(C_1siny+C_2cosy)\cdot e^{-y(x)}$

Подставляя $x_2$ в (1) получаем

$(C_1cosy-C_2siny)e^{-y}=-e^{-y}cosy$

=> $C_1=-1$;$C_2=0$

=> $x_2=-e^{-y}siny$

c) Общее решение неоднородного уравнения
$x=x_1+x_2=C\cdot e^{-y(x)}-e^{-y}siny$

Тут условие $\dfrac{y}{x}=6$ трудновато придумать как использовать!

2) Попробуем сделать замену
$t=\dfrac{y}{x}=6$
$dy=6dx$

Уравнение примет вид

$e^{6x}dx+[cos(6y)+xe^{6x}]\cdot 6dx=0$

$(e^{6x}+6cos(6x)+xe^{6x})dx=0$

Дальше что-то делать - нет смысла...

3) Сделаем замену

$t=\dfrac{y}{x}$

А то, что это равно 6, учтем потом, если дойдем до этого

$dy=tdx+xdt$

Изначальное уравнение примет вид

$e^{tx}dx+t(cos[tx]+xe^{tx})(tdx+xdt)=0$

$(e^{tx}+tcos[tx]+txe^{tx})dx+(xcos[tx]+x^2e^{tx})dt=0$

А что дальше делать - не понятно...

[BapuK]

ну вообщето это уравнение в полных дифференциалах, решается простым интегрированием по какой-нибудь кривой от некоторой точки, до точки (x,y)
PS как условие использовать даж не знаю..

[Sonic86]

По-моему, условие там левое.

[AD]

Можете полностью привести текст условия? (можно даже сосканить и выложить)
Хоть посмеёмся если действительно так всё странно.

[invisible1]

BapuK в сообщении #274652 писал(а):

ну вообщето это уравнение в полных дифференциалах, решается простым интегрированием по какой-нибудь кривой от некоторой точки, до точки (x,y)
PS как условие использовать даж не знаю..

Если в полных дифференциалах, то правильно ли я решил?)

$M=e^y$

$N=cosy+xe^y$

$\frac{\partial M}{\partial y}=e^y$

$\frac{\partial N}{\partial x}=e^y$

$dU=Pdx+Qdy=0$

=>$U=C$

$U=\int\limits_0^x{e^y}dx+\int\limits_0^y({cosy+xe^y})dy$

$U=xe^y+siny+x(e^y-1)=C$

$x(2e^y-1)+siny=C$ (7)

$x=\dfrac{C-siny}{2e^y-1}$

Ответ не сходится с предыдущим способом решения...
Понимаю, что его можно записать в виде (7), но для проверки я решил выразить $x$

-- Чт дек 24, 2009 14:01:57 --

Sonic86 в сообщении #274655 писал(а):

По-моему, условие там левое.

По-моему тоже...

-- Чт дек 24, 2009 14:03:20 --

AD в сообщении #274676 писал(а):

Можете полностью привести текст условия? (можно даже сосканить и выложить)
Хоть посмеёмся если действительно так всё странно.

Дело в том, что там написано только то, что я написал. Словами вообще ничего(

[BapuK]

invisible1 в сообщении #274744 писал(а):

$U=\int\limits_0^x{e^y}dx+\int\limits_0^y({cosy+xe^y})dy$

нужно интегрировать по какой-то конкретной кривой
проще интегрировать сначала по прямой $(0,0)->(x,0)$ затем уже $(x,0)->(x,y)$ и тогда в первом интеграле вместо $y$ нужно подставить 0 конечное выражение упростится, для проверки продифференцируйте вашу функцию полученную в ответе , должно получиться первоначальное уравнение

[invisible1]

BapuK в сообщении #274825 писал(а):

invisible1 в сообщении #274744 писал(а):

$U=\int\limits_0^x{e^y}dx+\int\limits_0^y({cosy+xe^y})dy$

нужно интегрировать по какой-то конкретной кривой
проще интегрировать сначала по прямой $(0,0)->(x,0)$ затем уже $(x,0)->(x,y)$ и тогда в первом интеграле вместо $y$ нужно подставить 0 конечное выражение упростится, для проверки продифференцируйте вашу функцию полученную в ответе , должно получиться первоначальное уравнение

Что-то я не очень понял, что вы имели ввиду, решил по-другому...

-- Сб дек 26, 2009 13:19:30 --

$e^y\cdot dx+(\cos y+x\cdot e^y)dy=0$

Проверим, является ли это уравнение уравнением в полных дифференциалах
$M=e^y$

$N=cosy+xe^y$

$\dfrac{\partial M}{\partial y}=e^y$

$\dfrac{\partial N}{\partial x}=e^y$

$\dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x}$, поэтому это уравнение в полных дифференциалах. Следовательно найдется такая функция $U$, что

$$\left\{ \begin{array}{l} dU=\dfrac{\partial U}{\partial x}dx+\dfrac{\partial U}{\partial y}dy=0\\ \partial U/\partial x=e^y\\ \partial U/\partial y=\cos y+x\cdot e^y\\ \end{array} \right $$

$\partial U/\partial x=e^y$ => $U=\int{\dfrac{\partial N}{\partial x}}dx=\int{e^y}dx=x\cdot e^y + \phi(y)$

Необходимо найти $\phi(y)$

$\dfrac{\partial U}{\partial y}=x\cdot e^y + \phi'(y)=\cos y+x\cdot e^y$

=> $\phi'(y)=\cos y$ => $\phi(y)=\sin y$

Поэтому $U=x\cdot e^y + \sin y$

Т.к. $dU=0$ => $U=const$

=> $x\cdot e^y + \sin y=const$

Про условие $y/x=6$ ,это не нужно условие, я выяснил...

[BapuK]

invisible1 в сообщении #275360 писал(а):

BapuK в сообщении #274825 писал(а):

invisible1 в сообщении #274744 писал(а):

$U=\int\limits_0^x{e^y}dx+\int\limits_0^y({cosy+xe^y})dy$

нужно интегрировать по какой-то конкретной кривой
проще интегрировать сначала по прямой $(0,0)->(x,0)$ затем уже $(x,0)->(x,y)$ и тогда в первом интеграле вместо $y$ нужно подставить 0 конечное выражение упростится, для проверки продифференцируйте вашу функцию полученную в ответе , должно получиться первоначальное уравнение

Что-то я не очень понял, что вы имели ввиду, решил по-другому...

$U=\int\limits_0^xdx+\int\limits_0^y({cosy+xe^y})dy$ и все...

[ewert]

BapuK в сообщении #275623 писал(а):

$U=\int\limits_0^xdx+\int\limits_0^y({cosy+xe^y})dy$ и все...

Только так писать нельзя, это бессознательно. Надо:

$$U(\widetilde x,\widetilde y)=\int\limits_0^{\widetilde x}e^0dx+\int\limits_0^{\widetilde y}({cosy+\widetilde xe^y})dy$$

А ещё лучше -- вообще без криволинейных интегралов, значков меньше:

$$U'_x=e^y\quad\Rightarrow\quad U(x,y)=\left.\int e^ydx\right|_{y=\mathrm{const}}=x\,e^y+A(y);$$

$$U'_y=\cos y+x\,e^y\quad\Rightarrow\quad x\,e^y+A'(y)=\cos y+x\,e^y\quad\Rightarrow\quad A'(y)=\cos y\quad\Rightarrow\quad \quad A(y)=\sin y+C\ ...$$

[invisible1]

СпасибО!