Прибилжённые вычисления

[Hitp]

Надо было найти ln0,8 по Тейлору
я разложил до 6 несовпадение с калькулятором в 5 знаке после запятой
но надо найти ещё какое то R= , и модуль R<...
скажите пожалуйста что это такое и как находить

[Хорхе]

Модуль коэффициентов что ли взять, найти то ли верхний, то ли нижний предел корня какой-то степени ($n$?), а потом на это что-то в духе единицы поделить.

(Оффтоп)

Каков вопрос, таков и ответ.

[Hitp]

остроумно
очень

[RIP]

Подозреваю, что в данном случае $R$ --- это погрешность. Подозреваю, что от Вас хотят следующее: написать это $R$ как остаточный член в формуле Тейлора в форме Лагранжа и оценить.

[Hitp]

Требуется вычислить приближённо ln0,8 используя многочлен Тейлора 2-ой степени
Раскладываю по формуле:
$% MathType!MTEF!2!1!+- % feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaciiBaiaac6 % gacaaIWaGaaiilaiaaiIdacqGH9aqpcqGHsislcaaIWaGaaiOlaiaa % ikdacqGHsisldaWcaaqaaiaaicdacaGGUaGaaGOmamaaCaaaleqaba % GaaGOmaaaaaOqaaiaaikdaaaGaeyOeI0YaaSaaaeaacaaIWaGaaiOl % aiaaikdadaahaaWcbeqaaiaaiodaaaaakeaacaaIZaaaaiabg2da9i % abgkHiTiaaicdacaGGUaGaaGOmaiaaikdacaaIYaaaaa!4D55! \[ \ln 0,8 = - 0.2 - \frac{{0.2^2 }}{2} - \frac{{0.2^3 }}{3} = - 0.222 \] $
на калькуляторе -0.223
таким образом погрешность 0.001
помогите пожалуйста записать в форме Лагранжа R и оценить $% MathType!MTEF!2!1!+- % feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaqWaaeaaca % WGsbaacaGLhWUaayjcSdaaaa!39E6! \[ \left| R \right| \] $
правильно ли что $% MathType!MTEF!2!1!+- % feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaqWaaeaaca % WGsbaacaGLhWUaayjcSdaaaa!39E6! \[ \left| R \right| \] $ должен быть меньше 0.001?
как писать R непонятно, я написал вот так $% MathType!MTEF!2!1!+- % feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaSaaaeaaca % aIWaGaaiOlaiaaikdadaahaaWcbeqaaiabeg9akbaaaOqaaiaacIca % caWGUbGaey4kaSIaaGymaiaacMcacaGGHaaaaaaa!3E92! \[ \frac{{0.2^\vartheta }}{{(n + 1)!}} \] $ но думаю что это неправильно

[RIP]

Давайте потихоньку. Общие формулы

$$f(x)=\sum_{n=0}^m\frac{f^{(n)}(0)x^n}{n!}+R,$$

$$R=\frac{f^{(m+1)}(\theta x)x^{m+1}}{(m+1)!},\qquad\theta\in(0;1).$$

У Вас функция $f(x)=\ln(1-x)$, точка $x=0.2$. Вам предлагают взять $m=2$, насколько я понял (Вы в своих вычислениях взяли $m=3$). Соответственно, для начала Вам надо понять, чему равно $f'''(x)$.

[Hitp]

чему равно в формуле тейлора или вообще lnx?
если в формуле то
$% MathType!MTEF!2!1!+- % feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaciiBaiaac6 % gacaaIWaGaaiOlaiaaiIdacqGH9aqpcqGHsislcaaIWaGaaiOlaiaa % ikdacqGHsisldaWcaaqaaiaaicdacaGGUaGaaGOmamaaCaaaleqaba % GaaGOmaaaaaOqaaiaaikdaaaGaeyypa0JaaGimaiaac6cacaaIYaGa % aGOmaaaa!46D8! \[ \ln 0.8 = - 0.2 - \frac{{0.2^2 }}{2} = 0.22 \] $
R Тогда
$% MathType!MTEF!2!1!+- % feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOuaiabg2 % da9maalaaabaWaaSaaaeaacaaIYaaabaGaeqiUdeNaamiEamaaCaaa % leqabaGaaG4maaaaaaGccaGGQaGaamiEamaaCaaaleqabaGaaG4maa % aaaOqaaiaaiodacaGGHaaaaiabg2da9maalaaabaGaamiEamaaCaaa % leqabaGaaG4maaaaaOqaaiaaiodacqaH4oqCcaWG4bWaaWbaaSqabe % aacaaIZaaaaaaaaaa!47AF! \[ R = \frac{{\frac{2}{{\theta x^3 }}*x^3 }}{{3!}} = \frac{{x^3 }}{{3\theta x^3 }} \] $
верно?
относительно чего оценивать R

[RIP]

Hitp в сообщении #274993 писал(а):

чему равно в формуле тейлора или вообще lnx?

Если я правильно понял вопрос, то вообще, только не для $\ln x$, а для $\ln(1-x)$.

Hitp в сообщении #274993 писал(а):

$\ln0.8=-0.2-\frac{0.2^2}2$

Так писать нехорошо. Пишите $\ln0.8=-0.2-\frac{0.2^2}2+R$ или, на худой конец, $\ln0.8\approx-0.2-\frac{0.2^2}2$.

Выражение для $R$ Вы нашли неправильно. Давайте для начала разберёмся, с какой функцией мы работаем. Я писал формулы для функции $f(x)=\ln(1-x)$. Если Вам удобнее работать с функцией $\ln x$, то тогда надо формулы поменять. В нашей ситуации:

$$f(t)=f(1)+f'(1)\cdot(t-1)+\frac{f''(1)(t-1)^2}2+R,$$

$$R=\frac{f'''(\xi)(t-1)^3}6,\qquad\xi\in(t,1).$$

Хотя можно и сразу было $t=0.8$ подставить, ну да ладно.
Итак, очередная попытка. Функция $f(x)=\ln x$, точка $t=0.8$. Чему равно $R$?