Банахово пространство и сходимость ряда

[radixvinni]

Помогите разобраться с задачей:
Нужно доказать, что если в нормированном пространстве Х абсолютно сходящийся ряд сходится, то Х - банахово пространство. В обратную сторону это утверждение я доказал.

Ряд в нормированном пространстве называется абсолютно сходящимся, если сходится числовой ряд, составленный из норм.

[RIP]

Доказывайте по определению. Вам надо доказать, что из любой фундаментальной последовательности $x_n\in X$ можно выбрать сходящуюся подпоследовательность $x_{n_\nu}$. Для этого достаточно добиться, чтобы сходился (числовой) ряд $\sum_{\nu=1}^\infty\|x_{n_{\nu+1}}-x_{n_\nu}\|$.

[radixvinni]

Спасибо!