Доказать равенство двух интегралов

[milkwacko]

Доброго времени суток.
Доказать равенство интегралов при $\alpha > 0$:

$$\int\limits_0^{+\infty} \frac{e^{-\alpha x}}{1 + x^2}\,dx = \int\limits_\alpha^{+\infty} \frac{\sin(x - \alpha)}{x}\,dx$$

Собственно, вопрос: можно ли это доказать, не вычисляя интегралы? Очень уж противен первый из них... Пробовал делать замену во втором интеграле и смотреть интеграл разности, пытался приравнять (с точностью до константы) производные - что-то ничего не получилось.
И еще - задание мне показалось немного странным, вроде при $\alpha = 0$ оно выполняется, разве нет? В источнике знак строгий.

[Полосин]

Запишите второй интеграл в виде $\frac1{2i}\int\limits_0^{+\infty}\frac{e^{i\alpha t}-e^{-i\alpha t}}{1+t}dt$, разбейте его на два и поверните луч интегрирования на нужный угол в каждом интеграле.

[milkwacko]

Полосин, если не ошибаюсь, это ТФКП? Мне нужно сделать средствами мат. анализа...

[Полосин]

Ну тогда запишите второй интеграл в виде $\int\limits_0^{+\infty}\frac{\sin t dt}{\alpha +t}$ и покажите, что оба интеграла удовлетворяют одному и тому же дифференциальному уравнению $f''(\alpha)+f(\alpha)=1/\alpha$ и одним и тем же граничным условиям.

[milkwacko]

Разве второй интеграл этому уравнению удовлетворяет?
$f'(\alpha) = \int\limits_0^{+\infty} - \frac{\sin{x}}{(\alpha + x)^2}\,dx$
$f''(\alpha) = \int\limits_0^{+\infty} \frac{2\sin{x}}{(\alpha + x)^3}\,dx$
$f + f'' = \int\limits_0^{+\infty} \left(\frac{\sin{x}}{\alpha + x} + \frac{2\sin{x}}{(\alpha + x)^3}\right)\,dx$

[Полосин]

ДолжОн удовлетворять. По частям проинтегрируйте.

[milkwacko]

Полосин в сообщении #274591 писал(а):

и одним и тем же граничным условиям.

А можно поподробнее, если Вас не затруднит, каким таким граничным условиям?

[ewert]

Имелось в виду начальным (в нуле).

[milkwacko]

Почему не может случиться так, что один из интегралов входит в общее решение дифф. уравнения, а другой нет (особое решение, к примеру)? Тогда из равенства при начальных условиях не будет следовать равенство интегралов.

А, стоп, или 0 здесь не может быть особой точкой, и тогда через него проходит только одно решение?

[Полосин]

milkwacko в сообщении #274977 писал(а):

А можно поподробнее, если Вас не затруднит, каким таким граничным условиям?

Ну уж дудки. Сделайте сами, не бином Ньютона.

[milkwacko]

хорошо, спасибо