2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Доказать равенство двух интегралов
Сообщение23.12.2009, 22:29 


19/05/09
34
Доброго времени суток.
Доказать равенство интегралов при $\alpha > 0$:
$$\int\limits_0^{+\infty} \frac{e^{-\alpha x}}{1 + x^2}\,dx = \int\limits_\alpha^{+\infty} \frac{\sin(x - \alpha)}{x}\,dx$$

Собственно, вопрос: можно ли это доказать, не вычисляя интегралы? Очень уж противен первый из них... Пробовал делать замену во втором интеграле и смотреть интеграл разности, пытался приравнять (с точностью до константы) производные - что-то ничего не получилось.
И еще - задание мне показалось немного странным, вроде при $\alpha = 0$ оно выполняется, разве нет? В источнике знак строгий.

 Профиль  
                  
 
 Re: Равенство интегралов
Сообщение23.12.2009, 22:58 
Заслуженный участник


26/12/08
678
Запишите второй интеграл в виде $\frac1{2i}\int\limits_0^{+\infty}\frac{e^{i\alpha t}-e^{-i\alpha t}}{1+t}dt$, разбейте его на два и поверните луч интегрирования на нужный угол в каждом интеграле.

 Профиль  
                  
 
 Re: Равенство интегралов
Сообщение23.12.2009, 23:08 


19/05/09
34
Полосин, если не ошибаюсь, это ТФКП? Мне нужно сделать средствами мат. анализа...

 Профиль  
                  
 
 Re: Равенство интегралов
Сообщение23.12.2009, 23:23 
Заслуженный участник


26/12/08
678
Ну тогда запишите второй интеграл в виде $\int\limits_0^{+\infty}\frac{\sin t dt}{\alpha +t}$ и покажите, что оба интеграла удовлетворяют одному и тому же дифференциальному уравнению $f''(\alpha)+f(\alpha)=1/\alpha$ и одним и тем же граничным условиям.

 Профиль  
                  
 
 Re: Равенство интегралов
Сообщение23.12.2009, 23:46 


19/05/09
34
Разве второй интеграл этому уравнению удовлетворяет?
$f'(\alpha) = \int\limits_0^{+\infty} - \frac{\sin{x}}{(\alpha + x)^2}\,dx$
$f''(\alpha) = \int\limits_0^{+\infty} \frac{2\sin{x}}{(\alpha + x)^3}\,dx$
$f + f'' = \int\limits_0^{+\infty} \left(\frac{\sin{x}}{\alpha + x} + \frac{2\sin{x}}{(\alpha + x)^3}\right)\,dx$

 Профиль  
                  
 
 Re: Равенство интегралов
Сообщение23.12.2009, 23:50 
Заслуженный участник


26/12/08
678
ДолжОн удовлетворять. По частям проинтегрируйте.

 Профиль  
                  
 
 Re: Равенство интегралов
Сообщение24.12.2009, 23:59 


19/05/09
34
Полосин в сообщении #274591 писал(а):
и одним и тем же граничным условиям.

А можно поподробнее, если Вас не затруднит, каким таким граничным условиям?

 Профиль  
                  
 
 Re: Равенство интегралов
Сообщение25.12.2009, 00:10 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Имелось в виду начальным (в нуле).

 Профиль  
                  
 
 Re: Равенство интегралов
Сообщение25.12.2009, 00:20 


19/05/09
34
Почему не может случиться так, что один из интегралов входит в общее решение дифф. уравнения, а другой нет (особое решение, к примеру)? Тогда из равенства при начальных условиях не будет следовать равенство интегралов.

А, стоп, или 0 здесь не может быть особой точкой, и тогда через него проходит только одно решение?

 Профиль  
                  
 
 Re: Равенство интегралов
Сообщение25.12.2009, 00:41 
Заслуженный участник


26/12/08
678
milkwacko в сообщении #274977 писал(а):
А можно поподробнее, если Вас не затруднит, каким таким граничным условиям?

Ну уж дудки. Сделайте сами, не бином Ньютона.

 Профиль  
                  
 
 Re: Равенство интегралов
Сообщение25.12.2009, 00:45 


19/05/09
34
:D хорошо, спасибо

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group