устойчивость по Ляпунову и Лагранжу

[g-a-m-m-a]

Задана система ОДУ $\dot x=f(t,x)$. Ее решение $\tilde x(t,t_0,\tilde x_0).$ Следует ли отсюда, что существует такое $\delta>0,$ что все решения $x(t,t_0,x_0),$ где $||x_0-\tilde x_0||<\delta,$ являются устойчивыми по а)Ляпунову, б) по Лагранжу?

P.S только, пожалуйста, сразу не пишите, что это следует из определения устойчивости, а прочитайте внимательно условие, спасибо))

[jetyb]

То есть, Вы спрашиваете: существуют ли вообще неустойчивые решения?

[g-a-m-m-a]

Поправка: $\tilde x(t,t_0,x_0)$ -- асимптотически устойчивое решение

[jetyb]

Определение асимптотической устойчивости по Ляпунову такое:
1) Решение устойчиво по Ляпунову.
2) При $t\to\infty$ возмущенное решение стремится к начальному.
Тут гадать не надо.

Устойчивость по Лагранжу означает ограниченность всех возмущенных решений. Она следует из устойчивости по Ляпунову и ограниченности начального решения(так как все возмущенные решения будут находиться в $\varepsilon$ окрестности начального).

[g-a-m-m-a]

так там же говорится про существование некоторой окрестности..
мне так, как вы написали, не засчитали

[V.V.]

Совершенно необязательно асимптотически устойчивое по Ляпунову решение будет устойчивым по Лагранжу.

Рассмотрим уравнение $x'+x=t+1$. Его решение $x(t)=t$ асимтпотически устойчиво по Ляпунову. Это видно хотя бы из общего решения: $x(t)=t+Ce^{-t}$. Однако, рассматриваемое решение не является ограниченным.