дифф.уравнение 2-ого порядка

[roma1]

Всем привет.

Решаю задание:

$y''-y=2e^x-x^2$

пишу характеристическое уравнение:

$\lambda^2-1=0$

решаю его и получаю корни:

$\lambda_1=1$ и $\lambda_2=-1$

Пишу линейную комбинацию

$y=C_1e^{-x}+ C_2e^x$ ф-ла распознается неправильно тут "е" в степени "-х"
теперь нужно найти частное решение
(его надо записать с неопределенными коэффициентами и потом с определенными)
(как я понял решить то что после равно)
как это сделать не могу понять но ответ должен быть ввиде:

у(общ)= у(общее решение однородного) + у (частное решение неоднородного)

помогите пожалуйста, обычным языком и последовательно как сделать

[AD]

Формулы нужно писать в $\TeX$е, это правило у нас такое

Тема перемещена из "Помогите решить (М)" в карантин. В теме Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться также описано, как исправлять ситуацию.

-- Ср дек 23, 2009 19:16:10 --

Вернул.

1. Длинные индексы прячем в фигурные скобки: e^{-x}.
2. У меня скоро будет истерика от неписанной традиции изображать умножение звездочкой. Звёздочка - это свёртка!! Для умножения используем \cdot и \times: $\cdot$ и $\times$.

-- Ср дек 23, 2009 19:19:08 --

Ну вот Вам такая подсказка тогда. Частное решение можно по частям искать: $y_{\text{он}}=y_{\text{оо}}+y_{\text{чн}_1}+y_{\text{чн}_2}$, где $y_{\text{чн}_1}$ - решение $y''-y=e^x$, $y_{\text{чн}_2}$ - решение $y''-y=-x^2$. Объяснять надо или сами докажете?

При поиске $y_{\text{чн}_1}$ будет резонанс.

[roma1]

резонанса не было у нас, к сожалению сильно легче не стало , каким образом именно ищется частное решение, ( что куда подставляется и тп) можете подробнее?

[AD]

Частное решение ищется угадыванием. Всегда.
В то же время в таких простых случаях, как Ваш (т.е. когда правые части очень простые), угадывание формализовано и превращено в надежно работающий метод неопределенных коэффициентов.

То есть решения ищутся в определенном виде. В вашем случае это будет что-то вида $p(x)e^x$, где $p(x)$ - многочлен какой-то не очень большой степени; второй, наверное, хватит; его коэффициенты как раз нужно угадать определить, подставив его прямо в таком виде в уравнение и проверив, когда получается равенство.

Еще вот тут можете почитать: Линейное_дифференциальное_уравнение_с_постоянными_коэффициентами

[ewert]

roma1 в сообщении #274474 писал(а):

резонанса не было у нас, к сожалению

Это крайне плохо, что не было. Под резонансом в этом месте понимается случай, когда корень характеристического уравнения совпадает с комбинацией $(a+ib)$, где $a$ -- это коэффициент в показателе экспоненты в правой части, а $b$ -- коэффициент там же под синусами/косинусами (если они есть; иначе, разумеется, нули).

А почему плохо -- потому, что ситуация распространённая. Вот у Вас как раз резонанс (для первого слагаемого правой части, а для второго -- нет, и эти слагаемые надо обрабатывать по отдельности).

Рецепт достаточно прост: если правая часть стандартна, и если для неё есть резонанс -- искать частное решение надо, в принципе, в обычном виде, но с дополнительным домножением на $x^k$, где $k$ -- это кратность того корня, для которого и наблюдается "резонанс".

[roma1]

и еще один вопрос как найти коэфиценты с1 и с2?

[AD]

roma1 в сообщении #274492 писал(а):

и еще один вопрос как найти коэфиценты с1 и с2?

Да Вы не понимаете, что такое дифур вообще
Их нельзя найти. Решение будет подходить при всех $C_1$ и $C_2$. Ну просто у типичного дифура очень много решений. Они нумеруются вот такими константами. А у уравнений в частных производных решений еще больше - они будут нумероваться произвольными функциями.

А чтобы получить конкретику, надо ставить задачи для дифуров - типа задачи Коши или краевой задачи.

[ewert]

roma1 в сообщении #274492 писал(а):

и еще один вопрос как найти коэфиценты с1 и с2?

Никак. От Вас требуют общее решение уравнения: соотв, произвольные постоянные -- произвольны.

Я бы за такой вопрос студента на экзамене бы вынес. Но пока Вы не на экзамене -- примите к сведению.

[AD]

Ну, грубо говоря, мы, например, решая дифур, нашли всевозможные траектории полёта камня вообще, а чтобы узнать, как он полетит, надо еще указать, откуда именно и с какой скоростью мы его кинули.

[roma1]

на экзамене я бы такое не спросил, но у меня в задании написано найти неопределенные коэффициенты! Но как я понял для этого надо решить задачу Коши?

[neverland]

roma1 в сообщении #274536 писал(а):

8-) Но как я понял для этого надо решить задачу Коши?

У вас никакой задачи Коши, но если будут начальные условия, будет и задача