Проблема с построением изоморфизма для факторгруппы

[Voodoo Man]

Доброго времени суток! Возникла некоторая проблема с вопросом из теории групп.

Собственно говоря, проблема такая. Есть группа $G$ верхнетреугольных матриц с коэффициентами из $\mathbb R $, в ней подгруппа $H$ верхнетреугольных матриц, у которых на диагонали одно и то же число ( $ \forall i = \overline{1,n} $ $a_{ii} = c$, $c \in \mathbb R $ ). По критерию, две матрицы $a$ и $b$ образуют один и тот же смежный класс по нормальному делителю $H$, если $a^{-1}b \in H $. В данной ситуации это означает, что если матрица $a$ есть

$$ \left( \begin{array} {ccccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \ldots & a_{1,n} \\ 0 & a_{22} & a_{23} & \ldots & a_{2,n} \\ 0 & 0 & a_{33} & \ldots & a_{3,n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & a_{n,n} \end{array} \right) $$

а матрица $b$ -

$$ \left( \begin{array} {ccccc} b_{11} & b_{12} & b_{13} & \ldots & b_{1,n} \\ 0 & b_{22} & b_{23} & \ldots & b_{2,n} \\ 0 & 0 & b_{33} & \ldots & b_{3,n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & b_{n,n} \end{array} \right) $$

, то для того, чтобы $a^{-1}b \in H$ необходимо и достаточно, чтобы $ \exists C \in \mathbb{R} \colon \forall i = \overline{1,n} $ $a_{i,i} = C \cdot b_{i,i}$. Из этого следует, что если матрица $c = $

$$ \left( \begin{array} {ccccc} c_{11} & c_{12} & c_{13} & \ldots & c_{1,n} \\ 0 & c_{22} & c_{23} & \ldots & c_{2,n} \\ 0 & 0 & c_{33} & \ldots & c_{3,n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & c_{n,n} \end{array} \right) $$

порождает некоторый смежный класс, то и матрица $c'=$

$$ \left( \begin{array} {ccccc} c_{11} & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & c_{22} & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & c_{33} & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & c_{n,n} \end{array} \right) $$

образует этот смежный класс. Более того, пусть $ R = \sqrt{c_{11}^2 + c_{22}^2 + \ldots + c_{nn}^2}$; тогда, естественно, матрица $c'' = \frac{1}{R} \cdot c'$ образует тот же смежный класс, что и $c'$. Нетрудно видеть, что матрица $c''$ - ортогональная. И множество ортогональных матриц порядка $n$ почти подходит на роль группы, которой изоморфна $G/H$; но проблема в том, что для любой ортогональной матрицы $A$ тот же смежный класс с ней порождает и матрица $-A$. В общем,возможно ли как-то разбить всё множество ортогональных вещественных матриц порядка $n$ на две части так, чтобы матрицы $A$ и $-A$ принадлежали разным частям $\forall A$ ? Или тот способ поиска изоморфизма, который я привёл, - тупиковый?

P.S. - премного извиняюсь за сумбур в мыслях, если таковой имеется.

[Voodoo Man]

Небольшая поправка к предыдущему посту - матрицы, естественно, невырожденные; на роль факторгруппы претендует множество диагональных ортогональных матриц; это всё мои опечатки.

По поводу разбиения множества ортогональных матриц на два подмножества. Для матриц с нечётным порядком такой способ разбиения подбирается очень просто - это разбиение на матрицы с положительным и с отрицательным определителем. Тогда для нечётных $n$ $G/H \cong OD$, где $OD = \lbrace A \in \mathbb{GL}_{n}, A^{T} = A^{-1} \vert det A > 0 \rbrace$ . Но вот какой способ разбиения можно придумать для чётных $n$ ?

[RIP]

С ортогональностью матриц Вы переборщили (диагональная матрица ортогональна тогда и только тогда, когда у неё на диагонали только $\pm1$).
В качестве представителей смежных классов лучше брать, например, диагональные матрицы вида $\mathop{\mathrm{diag}}(1,d_2,\ldots,d_n)$ (т.е. взять в Ваших рассуждениях $R=c_{1,1}$). Думаю, теперь легко понять, чему изоморфна фактор-группа.

[Voodoo Man]

RIP в сообщении #274602 писал(а):

С ортогональностью матриц Вы переборщили (диагональная матрица ортогональна тогда и только тогда, когда у неё на диагонали только $\pm1$).

Позор на мою не очень пока седую голову

RIP в сообщении #274602 писал(а):

В качестве представителей смежных классов лучше брать, например, диагональные матрицы вида $\mathop{\mathrm{diag}}(1,d_2, \ldots, d_n)$ (т.е. взять в Ваших рассуждениях $R=c_{1,1}$). Думаю, теперь легко понять, чему изоморфна фактор-группа.

Ну а поскольку матрицы вида $\mathrm{diag} (1,d_2,\ldots,d_n)$ тоже образуют группу по матричному умножению, то соответственно здесь можно установить изоморфизм в неё; теперь всё действительно понятно. Спасибо большое за помощь!