Силовские подгруппы

[Алина:)]

Найти 2-силовскую подгруппу в $A_6$.Найти её нормализатор.

(Получается подгруппа $|G_2|=8$. порядки элементов в ней 1,2,4. Но не могу найти,чем порождается группа(произведением 2 транспозиций и произведением транспозиции и цикла(?) ;и сколько таких групп). и как искать нормализатор?

заранее спасибо

[Sonic86]

Ну хотя бы это может как-то поможет:
Теоремы Силова

-- Ср дек 23, 2009 14:36:18 --

Если определение там правильно написано (то есть силовская подгруппа - это подгруппа степени $p^k$ в $G$, причем $p^k$ делит $|G|$, но $p^{k+1}$ не делит $|G|$), то берем группы типа $G_j= \{ e, (a_j b_j) \}$ порядка 2 и декартово их перемножаем (смотрим, чтобы все $a_j, b_j$ были различны) - получим группу порядка 8. Только она не цикличная тогда... И образующие ее видны в таком виде тоже.

-- Ср дек 23, 2009 14:38:59 --

Ага, еще можно пытаться брать $G= \{ e, (abcd)\}$ и тоже декартово перемножать - у них будут другие системы образующих...

-- Ср дек 23, 2009 14:40:42 --

Ммм, и теперь, если не существует циклической подгруппы в $A_6$ с образующей порядка 8 (вроде бы ее нет), то можно просто подсчитать все получающиеся вышеуказанные подгруппы...

-- Ср дек 23, 2009 14:42:41 --

Что такое нормализатор, можно узнать здесь:
Словарь терминов теории групп

-- Ср дек 23, 2009 14:53:33 --

И еще: поскольку силовская группа нормальна, то она содержится в нормализаторе. Можно ее отсюда поискать (но если не хотите - не пробуйте, я сам не знаю, м.б. это сллишком долго).
Однако силовских подгрупп у нас до фига получилось, а нормализатор их все содержит! Значит нормализатор от $A_6$ недалеко ушел, либо я что-то не то говорю...

[Yakov]

По теореме Силова число таких подгрупп сравнимо с 1 по модулю 2 и делит 45.
Известно, что группа $A_6$ проста. Поэтому остаются варианты - 3, 5, 9, 15 силовских подгрупп.
Одна из таких подгрупп легко угадывается - она порождается $(1, 2, 3, 4)(5, 6)$ и $(2, 4) (5, 6)$. Ну - а дальше - надо выписать все элементы, посмотреть, куда они переходят при сопряжениях, и определить их число. Как легко понять, нормализатор совпадает с самой подгруппой (имеет порядок 8).