доказательство изопериметрического свойства шара

[Ales]

Можно довольно просто доказывать изоперметрическое свойство шара: если есть фигура заданного объема, имеющая минимальную кусочно-гладкую поверхность, то это шар.
Это упрощенная задача: как доказывать существование такой оптимальной фигуры я не знаю.

Доказательство использует легко проверяемый факт: плоскость, секущая объем и заодно поверхность оптимальной фигуры пополам, содержит нормали к поверхности фигуры в точках пересечения этой плоскости с поперхностью фигуры.
Из любой оптимальной фигуры, последовательно отражая ее относительно взаимно перпендикулярных пополам-секущих плоскостей, можно построить центральносимметричную оптимальную фигуру. У такой фигуры все пополам-секущие плоскости проходят через центр симметрии и пересекаются по радиусам, и все содержат нормаль к поверхности. Радиусы совпадает с нормалями к поверхности, значит радиус не меняется по поверхности, следовательно поверхность - сфера.

Это доказательство подходит для любой размерности пространства и для любой геометрии: Евклида, Лобачевского, на поверхности сферы.

[Коровьев]

Была у меня когда-то книжечка с доказательством для круга. Выпуклая оболочка там строилась также - секущая и отражение. А вот доказательство, что она есть круг, довольно длинное и сложное, и занимало всю остальную часть книжки. Я его и не разбирал даже.
Думаю и для сферы оно очень не простое. Да, вроде бы, и зачем, коль в высшей математике есть методы, проще и пользительней.

[jetyb]

Посмотрите книгу Д. А. Крыжановского "Изопериметры". Там есть в том числе и эта задача о шаре. Доказывается утверждение с помощью только элементарной геометрии страниц на пять.

[migmit]

Для круга, коль скоро выпуклость есть, доказать несложно. Во-1, отрезок, делящий периметр пополам, должен делить пополам и площадь (иначе, отразив большую часть, увеличим площадь, не меняя периметр). Во-2, выбираем две точки, которые делять периметр (и площадь) пополам, и выбираем третью - получившийся треугольник должен быть прямоугольным (иначе площадь одной из частей можно увеличить, растягивая или сжимая выбранный "диаметр", а затем, отразив её относительно этого "диаметра", увеличить общую площадь). Дальше факт из элементарной геометрии про множество точек, из которых заданный отрезок виден под прямым углом.

Существование доказывается теоремой Арцела-Асколи.

[Ales]

Ну да, это известное доказательство Штейнера для круга. А вот для шара прием с треугольником не проходит.
А мое доказательство годится и для круга и для шара, и вообще для любой размерности.
В книгах для шара довольно муторное доказательство, а у меня оно простое.
Правда самое сложное - доказать существование решения изопериметрической задачи, я же доказал только единственность.
Я придумал такое доказательство чтобы не использовать Пятую аксиому Евклида: в самом деле, если задача поставлена одинаково в разных геометриях, то наверное, она может быть и решена одинаково.

Кстати можно получить Следствие: как и в Евклидовой геометрии, в геометрии Лобачевского и на сфере треугольник с двумя заданными сторонами имеет максимальную площадь, если он вписан в круг с центром на третьей стороне этого треугольника.