Равномерная сходимость последовательности

[chifa]

$f_n(x)$ непрерывны на множестве $E$, и на том же множестве равномерно сходятся к $f(x)$. Доказать, что тогда для $\forall x_n \to x,~~x_n \in E,~~x \in E~~~~ \lim\limits_{n \to \infty} f_n(x_n) = f(x)$

Задачка в принципе интуитивно понятная, но не знаю, как строго и формально написать доказательство.

[AD]

Ну можно прямо всё расписать на языке $\varepsilon$-$\delta$, и заметить, что

$$|f_n(x_n)-f(x)|\le|f_n(x_n)-f_m(x_n)|+|f_m(x_n)-f_m(x)|+|f_m(x)-f(x)|,$$

и тогда для каждого $\varepsilon$ удачно выбрать $m$.

[chifa]

$|f_n(x_n) - f_m(x_n)|$ - это берется как следствие из критерия Коши равномерной сходимости, я правильно понимаю?

[AD]

Нет-нет, никаких Коши. $m$ нужна лишь как промежуточная буква в рассуждениях и при оценке. Возьмем $\varepsilon$, к нему найдём $m$, чтобы бла-бла-бла, потом найдём $N$, что при $n>N$ будет бла-бла-бла--зависящее-от-$m$, и тогда докажем, что $|f_n(x_n)-f(x)|\le\varepsilon$, пользуясь упомянутым неравенством. Глубоко стандартное рассуждение.