Доказать равенство рядов

[Gaichka]

Нужно показать что:
$\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+...}}}=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+...}}}$

C левой частью поступила так:
$\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+...}}}=t_n$
тогда $t{^2}_n=1+t_{n-1}$; $t_1=1$; $t_{n-1}<t_n$, n=2,3,4,...
Неравенство $x^2<1+x$, выполняется <=> когда x<$\frac{1+\sqrt5}2$
Следовательно,т.к $t^{2}_n=1+t_{n-1}<1+t_n$,
то $t_{n-1}<t_n$<$\frac{1+\sqrt5}2$ => существует предел $lim t_n=t$ и
t=$\frac{1+\sqrt5}2$

вот, если анналогично делась с правой частью то получается:
$1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+...}}}=u_n$, тогда $u_n=1+u^{-1}_{n-1}$
$u_1=1$ (n=2,3,4...)
и получается что $u_{n-1}<u_n$, если n=2k
и $u_{n-1}>u_n$, если n=2k-1

Расскажите что делать когда n=2k(для n=2k-1 по-моему анналогично с л.ч. получается), или данное равенство не выполняется для таких n? или я что-то не так сделала??

[Фантом]

Слишком сложный способ.

Задачи такого рода решаются несколько другим путем. Вот, например, для корней:

Пусть $\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+...}}}=P. Тогда, так как "последовательность" из корней бесконечна, то можно сказать, что $P=\sqrt{1+P}$. Отсюда легко найти $P = \frac{\sqrt{5}+1}{2}$.

Аналогичным образом поступаем с правой частью (показать, как именно, не могу - Вы забыли указать знаменатели).

[ewert]

"Никто не забыт, и ничто не забыто". Это -- бесконечная цепная дробь.

Gaichka в сообщении #273301 писал(а):

C левой частью поступила так:
$\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+...}}}=t_n$
тогда $t{^2}_n=1+t_{n-1}$; $t_1=1$; $t_{n-1}<t_n$, n=2,3,4,...
Неравенство $x^2<1+x$, выполняется <=> когда x<$\frac{1+\sqrt5}2$
Следовательно,т.к $t^{2}_n=1+t_{n-1}<1+t_n$,
то $t_{n-1}<t_n$<$\frac{1+\sqrt5}2$ => существует предел $lim t_n=t$ и
t=$\frac{1+\sqrt5}2$

Только в определении $t_n$ должно стоять конечное выражение, а не бесконечное, как у Вас.

Фактически Вы доказываете, что предел этого выражения существует, т.е. что соотв. бесконечное выражение корректно -- и в каком смысле корректно. Т.е. доказываете корректность формулировки задачи. Тоже дело полезное.

По поводу правой части -- совершенно верно, там монотонности для чётной и для нечётной подпоследовательностей разные. Вот и доказывайте каждую монотонность отдельно.

-------------------------------------------------------
Да, кстати, а при чём тут ряды-то?...

[Фантом]

Фантом в сообщении #273306 писал(а):

(показать, как именно, не могу - Вы забыли указать знаменатели).

Ну вот, исправили, теперь могу. Если правую часть обозначить $Q$, то для нее, очевидно, выполнено соотношение $Q=1+\frac{1}{Q}$. Решая это уравнение, получаем тот же самый корень, что и для левой части.

[Gaichka]

А,ну да в левой части там: $t_n=\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+...+\sqrt1}}}$

Цитата:

По поводу правой части -- совершенно верно, там монотонности для чётной и для нечётной подпоследовательностей разные. Вот и доказывайте каждую монотонность отдельно.

Так подскажите пожалуйста как для чётной подпоследовательности доказывать?
Ряды...ну тема курсовой такая и эта задача из неё=)

[ewert]

Молча. Введите вспомогательные обозначения: $b_k=a_{2k}$ и $c_k=a_{2k+1}$. И выпишите для них рекуррентные соотношения. Они окажутся одинаковыми, только вот стартовые точки для них будут разными. Отсюда и разные направления монотонностей.