Принцип историзма при изучении теории меры

[neverland]

Программа изучения теории меры на моем факультете составлена так:
1) Мера Жордана, свойства меры Жордана, примеры множеств неизмеримых по Жордану
2) Мера Лебега как расширение понятия меры Жордана и тд...
Стала свидетелем спора между двумя преподавателями по поводу правильности и целесообразности такого порядка изложения. С одной стороны, исторически процесс продвигался именно так, но с другой можно начать с изучения $\sigma$-алгебр и абстрактных мер, что, как говорилось, логичнее и правильнее, а меру по Жордану привести как небольшой "архаичный пример".

Интересно узнать ваше мнение

[ewert]

Без Жордана начинать Лебега нехорошо. Дело в том, что конструкция Лебега -- довольно неочевидна, в отличие от конструкции Жордана. И если вводить сразу Лебега, не показав вначале (не обязательно во всех тонкостях, хотя бы вчерне) Жордана и его недостатки -- будет непонятно, зачем такая экзотика.

[AD]

Перенёс в "Вопросы преподавания".

-- Вс дек 20, 2009 15:13:09 --

neverland в сообщении #273278 писал(а):

с другой можно начать с изучения $\sigma$-алгебр и абстрактных мер, что, как говорилось, логичнее и правильнее, а меру по Жордану привести как небольшой "архаичный пример".

Я это так и изучал, и поддерживаю; мера Жордана всё равно никому не нужна, чего её учить?
Тут на самом деле есть еще более широкий холивар - зачем интеграл Римана, когда есть интеграл Лебега.

[ewert]

AD в сообщении #273341 писал(а):

Тут на самом деле есть еще более широкий холивар - зачем интеграл Римана, когда есть интеграл Лебега.

затем, что интегралы не только математикам нужны, но и физикам, к примеру. А для них интеграл -- это в первую очередь Римана, и уж только потом всяческая заумь (да и далеко не всем физикам последняя нужна, и даже кому она формально нужна -- обычно её гордо игнорируют)

AD в сообщении #273341 писал(а):

Я это так и изучал,

Между прочим, совершенно напрасно Вы так уж в этом уверены. Вы ведь худо-бедно площадь с объёмом в школе-то проходили, да?... Ну так это и был Жордан.

[neverland]

ewert в сообщении #273352 писал(а):

Между прочим, совершенно напрасно Вы так уж в этом уверены. Вы ведь худо-бедно площадь с объёмом в школе-то проходили, да?... Ну так это и был Жордан.

Не совсем так. Обычно в школьных учебниках геометрии темы "Площадь" и "Объем" начинаются примерно так: "Будем считать, что все рассматриваемые нами (фигуры) тела имеют площадь(объем) -- это число с такими-то свойствами", что как бы предполагает все множества измеримыми.

AD в сообщении #273341 писал(а):

Тут на самом деле есть еще более широкий холивар - зачем интеграл Римана, когда есть интеграл Лебега.

Многие студенты (я в их числе) при первом знакомстве с интегралом Лебега бывают приятно удивлены простотой и логичностью введенной конструкции (как раз зауми не получается). У нас на третьем курсе изучают и возникают вопросы типа: "А чего этого раньше не было?". Интересно бы получилось: на первом курсе изучать теорию меры и интеграл Лебега, а затем уже все остальное. Хотя может такие программы уже есть? Да и можно ли обосновать методически такую необходимость?
ИМХО, все это должно быть из серии вечных вопросов по поводу дедуктивного или индуктивного метода

[ewert]

neverland в сообщении #273380 писал(а):

Многие студенты (я в их числе) при первом знакомстве с интегралом Лебега бывают приятно удивлены простотой и логичностью введенной конструкции (как раз зауми не получается).

Собственно, разница между обоими товарищами очень проста.

Тов. Жордан предлагает приблизить множество и изнутри, и извне некими прямоугольниками. И это естественно, и это вполне отвечает здравому смыслу. (Правда, там потом возникают довольно неприятные эффекты, но это -- потом, потом).

Тов. же Лебег предлагает приближать снаружи как и раньше, в общем, но вот изнутри -- зачем-то через дополнения. И это априори совсем непонятно (если незнаком с теми спецэффектами, конечно): а с какой стати, собссно?...

[AD]

neverland в сообщении #273380 писал(а):

Не совсем так. Обычно в школьных учебниках геометрии темы "Площадь" и "Объем" начинаются примерно так: "Будем считать, что все рассматриваемые нами (фигуры) тела имеют площадь(объем) -- это число с такими-то свойствами", что как бы предполагает все множества измеримыми.

Не совсем так. В школе просто отдельно определяется, что такое площадь прямоугольника и площадь круга, ну и еще, быть может, нескольких фигурок. А площадь вообще не определяется вообще. Похоже?
А доказать, что это было "по Жордану", никто не сможет, потому что всё, что по Жордану - и по Лебегу тоже. Вряд ли у кого-нибудь в школе определялась площадь множества рациональных точек единичного квадрата.

[ewert]

AD в сообщении #273397 писал(а):

А доказать, что это было "по Жордану", никто не сможет,

А я и не возьмусь -- доказывать. Главное, что это определялось через прямоугольнички (ну или через многоугольнички, что эквивалентно, пусть это формально и не обосновывалось). Главное -- что формально или неформально, но был это -- именно Жордан.

[Фантом]

neverland в сообщении #273380 писал(а):

Интересно бы получилось: на первом курсе изучать теорию меры и интеграл Лебега, а затем уже все остальное. Хотя может такие программы уже есть?

Мне известна одна подобная попытка. Результаты достаточно плачевные - такой подход создает огромные трудности даже для будущих математиков, а для прикладников он попросту невозможен.

[AD]

ewert в сообщении #273401 писал(а):

Главное, что это определялось через прямоугольнички (ну или через многоугольнички, что эквивалентно, пусть это формально и не обосновывалось).

Ну так и Лебег ничуть не меньше через прямоугольнички.

-- Вс дек 20, 2009 18:00:15 --

Ладно, тут какая-то глупая дискуссия выходит. Давайте я вот что расскажу лучше.

1. Ну меня на самом деле так учили. В четвертом семестре одновременно шло:
- Математический анализ: Кратные и криволинейные интегралы Римана, мера Жордана.
- т.н. "Действительный анализ": Теория интеграла Лебега, и, соответственно, мера Лебега. Мера Жордана дается с пометкой "устаревшее".
- Теория вероятностей, где зачем-то еще раз излагают теорию меры и интеграла Лебега, более бегло и на другом языке.

2.

neverland в сообщении #273380 писал(а):

Интересно бы получилось: на первом курсе изучать теорию меры и интеграл Лебега, а затем уже все остальное. Хотя может такие программы уже есть?

Ну собственно не совсем это, то есть совсем не это, но вроде в тему: запасаетесь валерьянкой, заходите на один дружественный нам сайт, там "[2] Лукашенко Т.П." (они не любят прямых ссылок на их файлы, говорят, что быстро портятся).

[ewert]

Фантом в сообщении #273418 писал(а):

Мне известна одна подобная попытка. Результаты достаточно плачевные - такой подход создает огромные трудности даже для будущих математиков, а для прикладников он попросту невозможен.

+1

AD в сообщении #273435 писал(а):

Ну так и Лебег ничуть не меньше через прямоугольнички.

Гораздо менее: он -- через дополнения к прямоугольничкам, причём в счётном количестве, что само по себе, разумеется, прекрасно, но -- гораздо абстрактнее.

[neverland]

AD в сообщении #273435 писал(а):

Ну собственно не совсем это, то есть совсем не это, но вроде в тему: запасаетесь валерьянкой, заходите на один дружественный нам сайт, там "[2] Лукашенко Т.П." (они не любят прямых ссылок на их файлы, говорят, что быстро портятся).

Посмотрела оглавление, обнаружила много новых фамилий. Пойду за валерьянкой
Тут наткнулась на веселую презентацию. Тут уж точно ничего абстрактного нету, только наглядность (Riemann versus Lebesgue) http://demonstrations.wolfram.com/RiemannVersusLebesgue/

[BVR]

Тут ведь ещё и методические соображения роль играют. Именно ими, скорее всего, такой порядок обусловлен.

[finanzmaster]

neverland в сообщении #273278 писал(а):

Программа изучения теории меры на моем факультете составлена так:
1) Мера Жордана, свойства меры Жордана, примеры множеств неизмеримых по Жордану
2) Мера Лебега как расширение понятия меры Жордана и тд...
Стала свидетелем спора между двумя преподавателями по поводу правильности и целесообразности такого порядка изложения. С одной стороны, исторически процесс продвигался именно так, но с другой можно начать с изучения $\sigma$-алгебр и абстрактных мер, что, как говорилось, логичнее и правильнее, а меру по Жордану привести как небольшой "архаичный пример".
Интересно узнать ваше мнение

О, какая близкая мне тема!
Считаю, что меру Жордана упоминать нужно - но бегло, не тратя на нее много времени.
Но вот начинать меру Лебега с абстрактных сигма-алгебр и мер - не приведи Господь. Сколько наблюдал примеров - если человек - не чистый математик, то после такого подхода в башке у него не отложится ничего, даже если в свое время он все добросовестно вызубрил. Потому что конструкция Каратеодори изящная - но, по крайней мере, сперва совершенно непонятно, откуда ноги растут. Математики, которые будут специализироваться в этой области потом, конечно, поймут, но теория меры нужна не только им а, среди прочих, и финансовым инженерам.

Я считаю, что начинать надо с меры на отрезке (0,1) - так, как это делал сам Лебег. Обязательно пояснить, что наша цель - разумно приписать понятие длины ("хорошо" определенной для отрезков) возможно большему числу множеств. Показать, что совокупность отрезков образует полукольцо. Дальше - стандартный процесс лебеговского распространения меры с полукольца на сигма-алгебру, обязательно дать пример "плохого" выбора внутренней меры (как у меня здесь на стр. 13).
Крайне желательно дать пример неизмеримого множества, а также множества из лебеговской, но не борелевской сигма-алгебры. Уделить достаточно времени канторову дисконтиниуму.
В общем, мне кажется, надо не жалеть времени на разбор меры на прямой и плоскости - ибо там есть хоть какая-то наглядность и много конкретных приложений. И по ходу дела акцентировать внимание на "естественно" возникающие понятия, такие как полукольцо, сигма-алгебра, внешняя мера. И только после этого переходить к мерам на абстрактных множествах - причем эту тему можно будет изучить быстро, ведь студенты уже будут видеть знакомые конструкции.

Да, мотивация перед введением интеграла Лебега тоже нужна - предельный переход под знаком интеграла, изменения порядка интегрирования - естественно, с примерами.

[ewert]

finanzmaster в сообщении #274467 писал(а):

Крайне желательно дать пример неизмеримого множества,

Думаю, что нежелательно -- оно неконструктивно.

finanzmaster в сообщении #274467 писал(а):

Да, мотивация перед введением интеграла Лебега тоже нужна - предельный переход под знаком интеграла,

Пределы -- бог с ними, а вот что принципиально -- это полнота интегральных пространств.

Да, а мотивировка перехода от меры Жордана к Лебегу очень проста -- мера Жордана не замкнута относительно счётных объединений. Очевидно, что это нехорошо.