Простые задачи по теории вероятностей

[Yurik]

Добрый день. Прошу вашей помощи в решении и проверки задач по терверу.

1). Вероятность выиграть по одному билету равна 1/7. Какова вероятность имея семь билетов, выиграть по двум билетам.

У меня получилось $0.19$ через формулу Бернулли $P_7(2) =\frac {7!} {2!*5!} $

2). На плоскости начерчены параллельные прямые, находящиеся друг от друга на расстоянии 2a. На плоскость на удачу бросают иглу длинной 2r<2a. Какова вероятность того, что игла пересечет одну из прямых?

В геометрических задачах по идее надо найти площадь бросания, и площадь между прямыми. Но как это сделать в контексте этой задачи что-то ума не приложу.

3). Две электрические лампочки включены в цепь параллельно. Вероятность того, что при некотором повышении напряжения в цепи выше номинального перегорает только одна лампочка равна 0.18. найти вероятность перегореть для каждой из этих лампочек, если известно, что эти вероятности превосходят 0.7 и равны между собой.

Пытался "подлезть" к этой задаче, но идей нет.

4). Из чисел 1,2...,60 одно за другим выбирают наугад два числа. Какова вероятность того, что разность между первым выбранным числом и вторым будет не меньше 3?

Получилось $0.93$ через комбинаторику.

5). Пусть система представляет собой техническое устройство, которое осматривается через сутки и ее состояние фиксируется в отчетной ведомости. Каждый осмотр с регистрацией представляет собой шаг процесса. Возможные состояния технического устройства: s1 - полностью исправно; s2 - частично неисправно, требует отладки; s3 - обнаружена серьезная неисправность, требует ремонта. На основании техничееского паспорта устройства известно, что 1. вероятность того, что устройство полностью исправно равна 0.2 
2. вероятность того, что устройство частично неисправно и требует отладки равна 0.3
3. вероятность того, что в устройстве имеет место серьезная неисправность, требующая ремонта 0.3
4. вероятность того, что устройство перейдет из состояния полной исправности в состояние частичной неисправности, требующей отладки, равна 0.6
5. вероятность того, что устройство перейдет из состояния полной исправности в состояние серьезной неисправности, требющей ремонта 0.2
6. вероятность того, что после ремонта устройство перейдет из состояния частичной неисправности в состояние полной исправности равна 0.5
7. вероятность того, чтоустройство перейдет из состояния частичной неисправности в состояние серьезной неисправности , требющей ремонта равна 0.2
8. вероятность того, что после ремонта устройство перейдет из состояния серьезной неисправности в состояние полной исправности равна 0.4 
9. вероятность того, что после ремонта устройство перейдет из состояния серьезной неисправности в состояние частичной неисправности равна 0.3.
Необходимо выписать матрицу переходных вероятнстей цепи Маркова. Найти вероятности перехода за два шага. Селать вывод о существовании состояний.

Проблема состоит в том, что я ничего не знаю о цепях Маркова. В данный момент пытаюсь штудировать литературу, но пока безуспешно.

На данный момент построил матрицу переходных вероятностей
$\mathbf {x}=\left (\begin{array}{cccc} & s{1} & s{2} & s{3} \\ s{1} & 0.2 & 0.5 & 0.4 \\ s{2} & 0.6 & 0.3 & 0.3 \\ s{3} & 0.2 & 0.2 & 0.3 \end{array} \right )$

Спасибо.

[Sonic86]

Yurik писал(а):

2). На плоскости начерчены параллельные прямые, находящиеся друг от друга на расстоянии 2a. На плоскость на удачу бросают иглу длинной 2r<2a. Какова вероятность того, что игла пересечет одну из прямых?

Иглу бросают на неограниченной плоскости ? Тогда вероятность 0.

В задаче 3 введите элементарные события, запишите рассматриваемое событие через элементарные и найдите его вероятность.

[PAV]

Sonic86 в сообщении #273302 писал(а):

Иглу бросают на неограниченной плоскости ? Тогда вероятность 0.

Нет, не 0. Эта задача разобрана в книге Мостеллера "Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями". Ее можно найти и скачать в сети.

[ewert]

Sonic86 в сообщении #273302 писал(а):

Yurik писал(а):

2). На плоскости начерчены параллельные прямые, находящиеся друг от друга на расстоянии 2a. На плоскость на удачу бросают иглу длинной 2r<2a. Какова вероятность того, что игла пересечет одну из прямых?

Иглу бросают на неограниченной плоскости ? Тогда вероятность 0.

Как это так 0, когда это классическая задача Бюффона?! Разбирается практически в любом учебнике.

[Yurik]

На счет задачи номер 3.
Какие события определить?
$A$ - сгорает первая лампочка
$B$ - сгорает вторая лампочка ?

[PAV]

Обозначьте вероятность перегорания одной лампочки через $p$. Выразите через $p$ вероятность того, что перегорит ровно одна лампочка; приравняйте к $0.18$.
Получится квадратное уравнение на $p$, дополнительное условие ($>0.7$) дано для того, чтобы из двух корней выбрать правильный.

[Sonic86]

PAV писал(а):

Sonic86 писал(а):

Иглу бросают на неограниченной плоскости ? Тогда вероятность 0.


Нет, не 0. Эта задача разобрана в книге Мостеллера "Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями". Ее можно найти и скачать в сети.

Ой не, это я вчера с перепугу подумал, что всего 2 паралельные прямые . Оказывается вся плоскость ими расчерчена.