Задача по геометрии

[gulya98]

Добрый день!
Помогите, пожалуйста, решить или хотя бы дайте наводку на решение следующей задачи:
Дан равнобедренный треугольник АВС, угол АВС прямой. На стороне АС находятся точки М и Н так, что $AM^2 + HC^2 = MH^2$
Надо найти угол МВН.
Спасибо.

[Батороев]

Через т. М проведите прямую, параллельную АВ, через т. Н - прямую, параллельную ВС.
Обозначьте точку пересечения этих прямых через O и докажите, что OM=OH=OB, следовательно, они являются радиусами описанной окружности треугольника BMH.

[mihiv]

Условие задачи не запрещает нам считать $AM=HC$.Приняв это равенство, найдите длину отрезка $AH$.

[meduza]

Я по-другому решал.

(Оффтоп)

Обозначил $AM=x$, затем через него потихоньку находил другие отрезки и дошел до $\tg \angle HBC$ и, наконец, до искомого угла. Правда долго и муторно. У Батороева более разумное решение.

[gulya98]

Решение поняла,но доказать что OM=OH=OB,не могу!!!

[meduza]

Докажите, что $\triangle BLO = \triangle MOK$ ($BL=\dfrac {AM} {\sqrt 2}, MK=...$).

[gulya98]

а кто-нибудь подскажет путь попроще

[mihiv]

Найдите длину отрезка $AH$ и затем докажите,что треугольник $ABH$ подобен треугольнику $BMH$.

[gulya98]

meduza
Добрый вечер!

>Докажите, что $\triangle BLO = \triangle MOK$ ($BL=\dfrac {AM} {\sqrt 2}, MK=...$).

Никак не соображу, как доказать равенство катетов. Подскажите поподробнее, пожалуйста.

[meduza]

gulya98
Насчет $BL=\dfrac {AM} {\sqrt 2}$ понятно? Далее смотрим на $\Delta MOH$: $MH^2=MO^2+MH^2=AM^2+HC^2$, в силу симметрии $AM=HC=MO=OH$. Далее в $\Delta MOK$ выражаем $MK=\dfrac {MO} {\sqrt 2} = BL$, значит $\Delta BOL=\Delta MOK$ по углам и стороне. Далее описываем окружность и т.д.

[Батороев]

gulya98 в сообщении #273322 писал(а):

Решение поняла,но доказать что OM=OH=OB,не могу!!!

Продлите ОМ до пересечения с ВС - т. F, ОН - до пересечения с АВ в т. D.
ОВ - диагональ прямоугольника DBFO, ее длина считается легко. Длина ОМ и ОН - еще легче.

[TOTAL]

gulya98 в сообщении #273476 писал(а):

а кто-нибудь подскажет путь попроще

Уберите с рисунка всё лишнее.
Тр-к BHC поверните вокруг вершины B против часовой стрелки на 90 градусов.

[gulya98]

Всем большое спасибо!