Это квадрат?

[Marisha]

Подскажите пожалуйста, как доказать, что четырехугольник - квадрат, если его стороны лежат на прямых 2х-2у+3=0, х-у+1=0, х+у+4=0, 4х+4у+5=0?

[neverland]

Рассмотреть направляющие векторы прямых, доказать, что углы по 90, затем найти точки пресечения прямых и вычислить расстояние между ними, убедиться в том, что стороны равны. Может как-то по другому тоже можно

[Marisha]

А как найти точки пересечения проще?

-- Сб дек 19, 2009 22:01:46 --

Решив системы?

[ewert]

Ну для начала докажите, что это параллелограмм. Потом -- что прямоугольник (доказав, что прямые пересекаются именно под прямыми углами). Потом -- что именно квадрат; тут уж как угодно, но придётся искать точки пересечения хоть чего-либо.

Впрочем, можно и поизысканствовать -- доказать, что расстояния между парами тех прямых совпадают.

[Marisha]

То, что это параллелограмм следует из того, что он образован попарно параллельными прямым. То, что прямоугольник - из того,что скалярное произведение координат нормалей равно нулю. Квадрат.... Искать точки пересечения решением 4 систем?

[ewert]

Почему четырёх?... Только трёх. Нам ведь для проверки нужны только три вершины.

Ну да, несколько занудно, но зато в лоб, и думать ни о чём не нужно.

[meduza]

(Оффтоп)

Нет ничего интересней, чем доказывать ложное утверждение

Кстати то, что это прямоугольник можно доказать гораздо проще -- из угловых коэффициентов.

[bot]

Marisha в сообщении #273058 писал(а):

Искать точки пересечения

Нафига? Посчитать расстояние между параллельными прямыми $ax+by+c=0$ и $ax+by+d=0$ проще пареной репы. Берём точку на одной прямой (её даже вычислять не надо) - она удовлетворяет равенству $ax_0+by_0=-c$. Подставляем в левую часть уравнения другой, получаем $ax_0+by_0+d=-c+d$. Теперь $d-c$ на что-то делим и получаем расстояние между этими прямыми.

-- Сб дек 19, 2009 19:36:02 --

ЗЫ. Оказывается уже ewert об этом сказал, но это совсем мне изысканством не кажется - совсем напротив, это первое, что в голову приходит.

[ewert]

bot в сообщении #273063 писал(а):

, но это совсем мне изысканством не кажется

дело в том, что это требует ну хоть чуть-чуть, но -- продвинутой теории. В то время как нахождение точки пересечения, и нахождение расстояния между двумя точками -- это тупо и в лоб.

[neverland]

еще можно доказать, что диагонали равны и пересекаются под прямым углом

[Marisha]

А как с диагоналями быть?

[neverland]

тут тоже придется искать, ну это так, просто еще один из вариантов. Делайте так, как написал bot и ewert