матрица линейного оператора

[Lenchik-777-k]

Здравствуйте! Есть такая задачка:
Линейный оператор $A$, действующий R$^3$ $\mapsto$ R$^3$. Оператор переводит вектора $e_{1},e_{2},e_{3}$ в вектора $f_{1},f_{2},f_{3}$ соответственно.
$e_{1}=(2,0,3)$
$e_{2}=(4,1,5)$
$e_{3}=(3,1,2)$
$f_{1}=(1,2,-1)$
$f_{2}=(4,5,2)$
$f_{3}=(1,-1,1)$

1) Найти матрицу этого оператора в паре базисов $e=(e_{1},e_{2},e_{3})$ и $f=(f_{1},f_{2},f_{3})$.
2) Найти матрицу этого оператора в естественном базисе $(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$.
3) Найти образ вектора (1,2,3).

Что такое матрица оператора в паре базисов и как ее найти? (в учебниках это есть но все равно не понятно)
Что такое матрица оператора в естественном базисе?

[Leox]

Что именно непонятно в определении матрицьі оператора? Просто, фиксируя разньіе базисьі мьі получаем и разньіе матрицьі. Сначала ищите матрицу фиксируя один базис а потом в другом базисе.

[Lenchik-777-k]

Насколько я понимаю $A_{fe}$ можно найти из уравнения $A*e=f$
Но тогда я не понимаю как найти $A_{ee}$?

-- Пт дек 18, 2009 23:19:02 --

C 3) понятно: зная матрицу оператора в естественном базисе можно эту матрицу умножив на вектор $(1,2,3)$ получим образ этого вектора. Но как найти эту матрицу оператора в естественном базисе если в условии ничего не сказано о том, как именно действует оператор? Или я совсем запуталась=(

[Leox]

$A_{e}(e_i)=f_i$ Разложите теперь $f_i$ по басису $e$ и получите нужную матрицу.

3) Найдите как оператор действует на векторьі естественного базиса.

[Lenchik-777-k]

Урра! Вектора $f$ разложила по базису $e$!!!
Получилась $A_{ee}$!!!

________$-10/3; 5/3; 1/3$
$A_{ee}=-25/3; 17/3; -2/3$
________$3; -2; 1$

Эта и будет матрица оператора в естественном базисе)

-- Сб дек 19, 2009 00:48:07 --

Или матрицу оператора в естественном базисе нужно искать по формуле
$Q*A_{ee}=A_{1}*Q$, где $Q$ - матрица перехода от естественного базиса к базису e
A_{1}$-матрица оператора в естественном базисе
???

[Lenchik-777-k]

последняя формула верна.

и даже вроде
_______$1,0,0$
$A_{fe}=0,1,0$
_______$0,0,1$

по поводу 3) то действие оператора на вектор (1,2,3)
будет таким $A_{1}*(1,2,3)$ и получаем матрицу умноженную на строку
в результате искомый образ будет матрицей

Хотелось бы знать: так ли это???

[Lenchik-777-k]

ой! спустя сутки я поняла все окончательно! спасибо всем кто помогал!!!