Исследовать на непрерывность оператор

[s_ksuha]

Здравствуйте! помогите решить задачку по фану:
является ли непрерывным оператор:
$T : L^3(0;\infty)\to l^1, $ $ (Tf)_n = \frac 1 {n^{2/3}}\int_{n}^{\ n+1} f(y) dy$$.
Идея есть, но никак не могу ее толком написать и довести до конца:
привести к виду : $||Tf|| = \int_{0}^{\infty} f(y)\cdot g(y) dy$
потом погельдерить и там уже смотреть какая получится константа... помогите, пожалуйста, осуществить!

[Полосин]

Поэкспериментируйте с функциями вида $f(x)=n^\alpha\ln^\beta n, 2\le n \le x<n+1$ (или просто $f(x)=x^\alpha\ln^\beta x, x\ge 2$), подобрав надлежащие $\alpha$ и $\beta$.

[ewert]

Если бы оператор был ограничен, то он был бы ограничен на неотрицательных кусочно-постоянных $f(y)$, равных $\alpha_n$ на каждом из отрезков $[n;\,n+1]$. Для таких функций $\|f\|_{L^3}=\|\{\alpha_n\}\|_{l^3}$. Ограниченность $\|Tf\|_{l^1}=\sum n^{-3/2}\cdot\alpha_n$ влекла бы за собой ограниченность линейного функционала на $l^3$, задаваемого последовательностью $\{n^{-3/2}\}$. Последнее равносильно тому, что эта степенная последовательность принадлежит сопряжённому $l^{3/2}$, а это неправда.

Ну или то же самое, но по рабоче-крестьянски. Возьмите $f_n(y)=y^{-1/3}$ при $y\leqslant n$ (в окрестности нуля как-нибудь заглушите, неважно) и $f_n(y)\equiv0$ при $y>n$. Тогда $\|Tf_n\|_{l^1}$ двусторонне оценивается через $C\sum_{k=1}^nk^{-1}\sim C\ln n$. В то же время $\|f_n\|_{L^3}$ двусторонне оценивается через $\sqrt[3]{\ln n}$, что много меньше предыдущей оценки.

[s_ksuha]

А можно поподробнее, почему ограниченность фунционала $x \mapsto \sum x_k y_k, l^p \to R$, равносильна тому, что ${y_k}\in l^{p'}$ ?

[ewert]

ну, это известная теорема. В данной задачке она не особо и нужна; я её приплёл только для того, чтоб показать, как это следует из общих соображений. А чиста канкретна -- читайте второй абзац.

[s_ksuha]

ewert в сообщении #273549 писал(а):

ну, это известная теорема.

А можно по-точнее, что за теоремка?

[s_ksuha]

Все, разобралась! Спасибо огромное))