Равномерная сходимость ряда

[Niclax]

Здравствуйте! Помогите исследовать на равномерную сходимость ряд:

$$\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{x\cos{nx}}{\sqrt[4]{n^4+x^4}}$$

По идее нужно использовать признак Вейерштрасса, но вот никак не могу придумать подходящей оценки.

[Ryabsky]

Боюсь, и не придумаете - ряд не сходится абсолютно, а знакопеременный ряд оценивать нельзя.
Остается критерий Коши или признаки Дирихле/Абеля. Кажется, последнее должно прокатить...

[Gafield]

Смотря где. В окрестности нуля да. А так, он местами вообще не будет сходиться, взять хотя бы $x=2\pi$.

[Niclax]

Ах да! Я забыл указать на каком множестве мы рассматриваем ряд: $(0,\frac{\pi}{2})$

[Gafield]

Тогда последнее пойдет, поскольку в формуле для суммы косинусов в знаменателе стоит $\sin x/2$, который компенсируется иксом в числителе.

[Niclax]

Gafield
В какой формуле?

[Gafield]

Той, которая в условии признака Дирихле равномерной сходимости

[Niclax]

Gafield
Вы имеете ввиду, что суммы косинусов ограничены?
И еще извините за глупый вопрос: почему данный ряд не сходится абсолютно?

[Ryabsky]

$\dfrac{x|\cos{nx}|}{\sqrt[4]{n^4+x^4}} > \dfrac{x\cos^2{nx}}{\sqrt[4]{n^4+x^4}} = \dfrac{x(1+\cos{2nx})}{2\sqrt[4]{n^4+x^4}} = \dfrac{x}{2\sqrt[4]{n^4+x^4}} + \dfrac{x\cos{2nx}}{2\sqrt[4]{n^4+x^4}}$
один из них расходится, другой сходится, значит исходный расходится