2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Равномерная сходимость ряда
Сообщение17.12.2009, 21:33 
Здравствуйте! Помогите исследовать на равномерную сходимость ряд:
$$\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{x\cos{nx}}{\sqrt[4]{n^4+x^4}}$$
По идее нужно использовать признак Вейерштрасса, но вот никак не могу придумать подходящей оценки.

 
 
 
 Re: Равномерная сходимость ряда
Сообщение17.12.2009, 21:35 
Боюсь, и не придумаете - ряд не сходится абсолютно, а знакопеременный ряд оценивать нельзя.
Остается критерий Коши или признаки Дирихле/Абеля. Кажется, последнее должно прокатить...

 
 
 
 Re: Равномерная сходимость ряда
Сообщение17.12.2009, 21:53 
Смотря где. В окрестности нуля да. А так, он местами вообще не будет сходиться, взять хотя бы $x=2\pi$.

 
 
 
 Re: Равномерная сходимость ряда
Сообщение17.12.2009, 21:57 
Ах да! Я забыл указать на каком множестве мы рассматриваем ряд: $(0,\frac{\pi}{2})$

 
 
 
 Re: Равномерная сходимость ряда
Сообщение17.12.2009, 22:02 
Тогда последнее пойдет, поскольку в формуле для суммы косинусов в знаменателе стоит $\sin x/2$, который компенсируется иксом в числителе.

 
 
 
 Re: Равномерная сходимость ряда
Сообщение17.12.2009, 22:10 
Gafield
В какой формуле?

 
 
 
 Re: Равномерная сходимость ряда
Сообщение17.12.2009, 22:15 
Той, которая в условии признака Дирихле равномерной сходимости :)

 
 
 
 Re: Равномерная сходимость ряда
Сообщение17.12.2009, 22:40 
Gafield
Вы имеете ввиду, что суммы косинусов ограничены?
И еще извините за глупый вопрос: почему данный ряд не сходится абсолютно?

 
 
 
 Re: Равномерная сходимость ряда
Сообщение17.12.2009, 22:54 
$\dfrac{x|\cos{nx}|}{\sqrt[4]{n^4+x^4}} > \dfrac{x\cos^2{nx}}{\sqrt[4]{n^4+x^4}} = 
\dfrac{x(1+\cos{2nx})}{2\sqrt[4]{n^4+x^4}} = \dfrac{x}{2\sqrt[4]{n^4+x^4}} + \dfrac{x\cos{2nx}}{2\sqrt[4]{n^4+x^4}}$
один из них расходится, другой сходится, значит исходный расходится

 
 
 [ Сообщений: 9 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group