Интересная задача на ряды

[SSV]

Пусть ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{n}$ получен из ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac {(-1)^n}{n}$ перестановкой его членов так, что члены одного знака расположены в новом ряду в порядке убывания их модулей а отношение числа положительных к числу отрицательных членов в новом ряду стремится к $\alpha$ при n стремящемся в бесконечность, Доказать, что:

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{n}=\ln\sqrt{4\alpha}$$

[RIP]

Только тогда уж переставлять надо ряд $\sum\frac{(-1)^{n-1}}n$. Возьмём первые $N$ слагаемых. Среди них, скажем, $P$ положительных и $Q$ отрицательных (точнее, $P_N$ и $Q_N$), причём по условию $P/Q\to\alpha$ при $N\to\infty$. Кроме того, $P$ и $Q$ неограниченно растут (поскольку у нас перестановка ряда). Вам нужно понять, к чему стремится выражение

$$\left(\frac11+\frac13+\ldots+\frac1{2P-1}\right)-\left(\frac12+\frac14+\ldots+\frac1{2Q}\right).$$

Разберитесь отдельно с каждой скобкой. Воспользуйтесь тем, что

$$\sum_{n=1}^N\frac1n=\log N+\gamma+o(1)$$

($\gamma$ --- постоянная Эйлера).

[SSV]

RIP в сообщении #272340 писал(а):

Только тогда уж переставлять надо ряд $\sum\frac{(-1)^{n-1}}n$.

Нельзя переставлять этот ряд, так как суммирование идёт от 1, то у нас получится что сумма ряда заведомо отрицательна, и это никак не согласуется с условиями задачи, или я чего-то не понимаю?

-- Чт дек 17, 2009 10:35:52 --

И объясните дураку, что такое бесконечно малая относительно константы?

[RIP]

SSV в сообщении #272342 писал(а):

RIP в сообщении #272340 писал(а):

Только тогда уж переставлять надо ряд $\sum\frac{(-1)^{n-1}}n$.

Нельзя переставлять этот ряд, так как суммирование идёт от 1, то у нас получится что сумма ряда заведомо отрицательна, и это никак не согласуется с условиями задачи, или я чего-то не понимаю?

Как раз для такого ряда сумма и будет положительной, в отличие от того ряда, который Вы написали. То есть из формулировки задачи понятно, что имеется в виду ряд $1/1-1/2+1/3-1/4+\ldots$, а это и есть как раз $\sum(-1)^{n-1}/n$.

-- Чт 17.12.2009 10:40:41 --

SSV в сообщении #272342 писал(а):

И объясните дураку, что такое бесконечно малая относительно константы?

Если Вы про формулу

$$\sum_{n=1}^N\frac1n=\log N+\gamma+o(1),$$

то в ней б.м. "относительно" $N\to\infty$. У Вас разве не выводили такую формулу?

(Оффтоп)

Извините, вынужден убегать на занятия.

[SSV]

Понял, моя ошибка

Нет не выводили, хотя пришлось узнать. Спасибо за пояснения, а то бесконечно малая от константы несколько ввела в ступор.

Разобрался, спасибо