помогите разобраться. дифф. уравнение.

[Imbalance]

$y''+k^2y=f(x)$
начальные условия:
$y(0)=y_0, y'(0)=y_1, k=const, k>0$
$f(x)$ интегрируема на $[0;a]$ для любого $a>0$.
нужно написать интегральное представление решения.
я решал так:
$y=c_1(x)\cos (kx) +c_2(x)\sin (kx)$
после нахождения $c_1(x)$ и $c_2(x)$, получается
$y=-\frac{\cos (kx)} {k}\int f(x)\sin (kx)dx +\frac{\sin (kx)} {k}\int f(x)\cos (kx)dx + A\cos (kx) + B\sin (kx)$
как из начальных условий найти А и В??

[ИСН]

Тупо, как топор: подставить x=0 в формулу для y, и посмотреть.

[Imbalance]

ИСН в сообщении #272144 писал(а):

Тупо, как топор: подставить x=0 в формулу для y, и посмотреть.

и чему будет равно $\int f(x)\sin (kx)dx$ и $\int f(x)\cos(kx)dx$ при $x=0$ ??

[ИСН]

Чему равно - ну, это смотря какие пределы у интегралов. А какие, кстати?
(Да, по-хорошему с этого надо было начинать.)

[Imbalance]

ИСН в сообщении #272166 писал(а):

Не едует рять ловины ов.
Чему равно - ну, это смотря какие пределы у интегралов. А какие, кстати?

я не знаю...а как их определить??

[ИСН]

А решение, которое в первом сообщении, Вы как нашли?

[Imbalance]

методом вариации произвольных постоянных. щас подождите, пожалуйста, напишу подробнее. просто до завтра срочно решить надо.

-- Ср дек 16, 2009 23:17:55 --

$y=c_1(x)\cos (kx) +c_2(x)\sin (kx)$
по методу вариации получается система:
$ \left\{ \begin{array}{l} c_1'(x)\cos (kx) +c_2'(x)\sin (kx)=0\\ -c_1'(x)k\sin (kx) + c_2'(x)\cos (kx) = f(x) \end{array} \right. $
дальше система преобразовывается к виду:
$ \left\{ \begin{array}{l} c_1'(x)=-\frac {f(x)\sin (kx)} {k}\\ $c_2'(x)=\frac {f(x)\cos (kx)} {k} \end{array} \right. $
откуда следует:
$ \left\{ \begin{array}{l} c_1(x)=-\frac {1} {k}\int f(x)\sin (kx)dx + A\\ c_2(x)=\frac {1} {k}\int f(x)\cos (kx)dx + B \end{array} \right. $

[ИСН]

Всё бы хорошо. Но в каких пределах интеграл?
Давайте задам наводящий вопрос, попроще. Вот, допустим, есть какой-то $z(x)$, $z^\prime=f(x),\,z(0)=0$. Чему будет равен z?

[Imbalance]

ИСН в сообщении #272219 писал(а):

Всё бы хорошо. Но в каких пределах интеграл?
Давайте задам наводящий вопрос, попроще. Вот, допустим, есть какой-то $z(x)$, $z^\prime=f(x),\,z(0)=0$. Чему будет равен z?

чет я походу чего-то не знаю...
$z = \int f(x)dx + A$
а какие пределы не знаю. мб 0 и х??

-- Ср дек 16, 2009 23:57:36 --

просто обычно в заданиях $f(x)$ была задана и константы находились легко...

[ИСН]

1. Пределы нужны. Без них ответ - не ответ.
2. Да, такие.
3. Следующий встречный (не я) спросит сурово - а почему такие? и не отвяжется.
4. Переменную интегрирования тогда лучше обозначить другой буквой, нежели x.
5. И чему же равно A? (Подставить... и посмотреть...)

[Imbalance]

спасибо большое! а почему, кстати, такие?)

[ИСН]

Ой, ну как. Тут надо рисовать и размахивать руками. Потому что мы знаем функцию здесь (тычет пальцем в график), а хотим узнать её - вот здесь (тычет в другое место), значит, и интеграл надо брать отсюда дотуда.

[Imbalance]

ИСН в сообщении #272235 писал(а):

Ой, ну как. Тут надо рисовать и размахивать руками. Потому что мы знаем функцию здесь (тычет пальцем в график), а хотим узнать её - вот здесь (тычет в другое место), значит, и интеграл надо брать отсюда дотуда.

не подскажете где об этом прочитать можно??

[ИСН]

Вы повергаете меня в смятение. Я давно ничего не читал, уже и забыл почти, как это.

[ewert]

Imbalance в сообщении #272181 писал(а):

откуда следует:
$ \left\{ \begin{array}{l} c_1(x)=-\frac {1} {k}\int f(x)\sin (kx)dx + A\\ c_2(x)=\frac {1} {k}\int f(x)\cos (kx)dx + B \end{array} \right. $

Дело в том, что эта запись -- формально бессмысленна. Выписывать произвольные постоянные в сумму к неопределённым интегралам -- просто безграмотно (они там и так неявно содержатся). Надо или оставить только те интегралы, и тогда выкинуть А и В (но при этом потеряется возможность найти конкретные частные решения). Или, уж если выписываем те константы явно -- то и те интегралы надо заменить на какие угодно, но конкретные первообразные. Ну, скажем, на интегралы от нуля до произвоольного икса. Но тогда следует проявить и ещё одну аккуратность: раз буква "икс" оказывается уже занятой верхним пределом интегрирования -- переменную интегрирования следует обозначить какой угодно, но другой буквой; хотя бы мягким знаком. Многие (типа Фихтенгольца) этим пренебрегают, а напрасно. Ибо если ежам типа Фихтенгольца всё и так понятно, то других -- на лету сбивает.