линейный неоднородный диффур с известным общим решением

[NeBotan]

День добрый. НАдо решить такой пример:
Решить линейное уравнение $x^2y''+2xy'-2y=1$ зная частное решение однородного уравнения $y=\frac{1}{x^2}$

Решаю.
Ищу частное решение в виде $y=\frac{C(x)}{x^2}$, нахожу первую и вторую производную, подставляю в уравнение, и получаю
$C''-\frac{2C'}{x}=1$. и вот тут я что-то начинаю тупить, как мне найти С?
Не посоветуете чего? может, способ решения не тот выбрал? Заранее спасибо.

Пробовал решить через метод вариации постоянной. положив частное решение уравнения в виде $y=\frac{C_1(x)}{x^2}+C_2(x)$
Получил выражение для $C_1^{'}$:
$C_1^{'}=-\frac{x^3}{x+2}$
Дальше решать не стал, интеграл не табличный, и вроде просто не расписывается((

[V.V.]

NeBotan в сообщении #271991 писал(а):

$C_1^{'}=-\frac{x^3}{x+2}$
Дальше решать не стал, интеграл не табличный, и вроде просто не расписывается((

Вы неправы. Он просто расписывается.

Да и вообще. Сначала по формуле Лиувилля-Остроградского находите второе решение однородного уравнения, а потом находите частное решение неоднородного.

[NeBotan]

а если просто, то это как? путем интегрирования по частям или раскладыванием на рациональные дроби?

-- Ср дек 16, 2009 15:24:13 --

разложил функцию через сумму кубов, чтобы в числителе получилось $(x+2)^3$. Интеграл взял. Ответ получил. Тока что-то он больно емкий.
А первым способом, который я использовал точно никак не решить? там вроде красивее ответ получиться должен.

[ShMaxG]

Соответствующее однородное уравнение исходного - уравнение Эйлера, поэтому решение можно искать через соответствующие замены. Ну и прибавить какое-нибудь частное неоднородного, которое очевидно.