левые и правые делители нуля в кольце

[AnnaZZ]

Помогите довести задачу до конца.
Пусть K - конечное кольцо. Нужно доказать, что если К имеет единицу, то всякий левый делитель нуля является правым делителем нуля.

Мне подсказали начало док-ва. K={$x_{1} ,..., x_{n}$}
Пусть а - лев.делитель нуля, т.е. $ax = 0$ (a,x - ненулевые).Пусть а не является правым делителем нуля. Теперь рассматриваем последовательнось элементов {$x_{1}a ,..., x_{n}a$}. В этой последовательности нет один. элементов( если бы это было бы не так, то $x_{i}a = x_{j}a$, следовательно,
$(x_{i} - х_{j})a = 0$. Т.е. а -правый делитель)
Т.е. можно составить функцию отображения элементов кольца на данную послед-ть по правилу f($x_{i})=x_{i}a$.[ Это отображение взаимно однозначное, а так как в кольце есть единица, то она будет соответствовать какому-то элементу из последо-ти, т.е..$x_{k}a=1$.. Значит а обратим слева.$x_{k}=a^(-1)$.лев. А как доказать обратимость справа?

[Someone]

Кольцо ассоциативное?

[AnnaZZ]

Об этом ничего не сказано. Но, как я понимаю, ассоциативное кольцо - это кольцо, в котором операция умножения обладает свойством ассоциативности, т.е. (ав)с=а(вс). А это по аксиомам в кольце выполнено

[Профессор Снэйп]

AnnaZZ в сообщении #271722 писал(а):

Значит а обратим слева.$x_{k}=a^{-1}$.лев. А как доказать обратимость справа?

$x = 1 \cdot x = (x_ka)x = x_k(ax) = x_k \cdot 0 = 0$; противоречие.

Это, как было справедливо замечено выше, проходит, если кольцо ассоциативное. А для неассоциативного не знаю.