2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Доказать предел
Сообщение15.12.2009, 08:35 
Доброго времени суток, помогите разобраться:
$f(x), x\in [0,+\infty]$ - непрерывная положительная функция и
$\int\limits_{0}^{+\infty}\frac {1}{f(x)}dx$ - сходится.

Доказать что
$\lim\limits_{a\to+\infty}\frac {\int\limits_{0}^{a}{f(x)dx}}{a^2}=+\infty$

Пытался один раз по правилу Лопиталя сделать - ничего хорошего не получилось.

 
 
 
 Re: Доказать предел
Сообщение15.12.2009, 08:55 
$$a^2=\left(\int_a^{2a}f^{1\over2}\cdot f^{-{1\over2}}dx\right)^2\leqslant\int_a^{2a}f\,dx\cdot\int_a^{2a}f^{-1}dx$$ (неравенство Коши-Буняковского), причём самый последний интеграл по условию стремится к нулю...

 
 
 
 Re: Доказать предел
Сообщение15.12.2009, 09:22 
Апплодирую...

 
 
 
 Re: Доказать предел
Сообщение15.12.2009, 13:42 
Получаем:

$$\lim\limits_{a\to+\infty}\frac{\int\limits_{0}^{a}f(x)dx}{\int\limits_{a}^{2a}f^{-1}(x)dx \int\limits_{a}^{2a}f(x)dx}$$

Сначала думал всё просто возьмётся по Лопиталю потом оказалось я ошибся. Что делать дальше ума не приложу.

 
 
 
 Re: Доказать предел
Сообщение15.12.2009, 18:14 
Из неравенства
ewert в сообщении #271587 писал(а):
$$a^2=\left(\int_a^{2a}f^{1\over2}\cdot f^{-{1\over2}}dx\right)^2\leqslant\int_a^{2a}f\,dx\cdot\int_a^{2a}f^{-1}dx$$ (неравенство Коши-Буняковского), причём самый последний интеграл по условию стремится к нулю...

при $a := \frac{a}{2}$ и положительности функции получаем:
$\frac {\int\limits_{0}^{a}{f(x)dx}}{a^2} \geq \frac {\int\limits_{\frac{a}{2}}^{a}{f(x)dx}}{a^2} \geq \frac {\frac{a ^ 2}{4}}{a ^ 2 \int\limits_{\frac{a}{2}}^{a}{f^{-1}(x)dx}}.$
Таким образом, достаточно доказать, что:
$\lim\limits_{a\to+\infty}\int\limits_{\frac{a}{2}}^{a}{f^{-1}(x)dx} = 0.$
А это сразу вытекает из сходимости интеграла, данной в условии (по критерию Коши).

 
 
 
 Re: Доказать предел
Сообщение15.12.2009, 19:14 
Спасибо!

 
 
 [ Сообщений: 6 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group