Из неравенства

(неравенство Коши-Буняковского), причём самый последний интеграл по условию стремится к нулю...
при

и положительности функции получаем:

Таким образом, достаточно доказать, что:

А это сразу вытекает из сходимости интеграла, данной в условии (по критерию Коши).