Доказать предел

[HZ_Ga'd_like]

Доброго времени суток, помогите разобраться:
$f(x), x\in [0,+\infty]$ - непрерывная положительная функция и
$\int\limits_{0}^{+\infty}\frac {1}{f(x)}dx$ - сходится.

Доказать что
$\lim\limits_{a\to+\infty}\frac {\int\limits_{0}^{a}{f(x)dx}}{a^2}=+\infty$

Пытался один раз по правилу Лопиталя сделать - ничего хорошего не получилось.

[ewert]

$$a^2=\left(\int_a^{2a}f^{1\over2}\cdot f^{-{1\over2}}dx\right)^2\leqslant\int_a^{2a}f\,dx\cdot\int_a^{2a}f^{-1}dx$$

(неравенство Коши-Буняковского), причём самый последний интеграл по условию стремится к нулю...

[HZ_Ga'd_like]

Апплодирую...

[HZ_Ga'd_like]

Получаем:

$$\lim\limits_{a\to+\infty}\frac{\int\limits_{0}^{a}f(x)dx}{\int\limits_{a}^{2a}f^{-1}(x)dx \int\limits_{a}^{2a}f(x)dx}$$

Сначала думал всё просто возьмётся по Лопиталю потом оказалось я ошибся. Что делать дальше ума не приложу.

[mitia87]

Из неравенства

ewert в сообщении #271587 писал(а):

$$a^2=\left(\int_a^{2a}f^{1\over2}\cdot f^{-{1\over2}}dx\right)^2\leqslant\int_a^{2a}f\,dx\cdot\int_a^{2a}f^{-1}dx$$

(неравенство Коши-Буняковского), причём самый последний интеграл по условию стремится к нулю...

при $a := \frac{a}{2}$ и положительности функции получаем:
$\frac {\int\limits_{0}^{a}{f(x)dx}}{a^2} \geq \frac {\int\limits_{\frac{a}{2}}^{a}{f(x)dx}}{a^2} \geq \frac {\frac{a ^ 2}{4}}{a ^ 2 \int\limits_{\frac{a}{2}}^{a}{f^{-1}(x)dx}}.$
Таким образом, достаточно доказать, что:
$\lim\limits_{a\to+\infty}\int\limits_{\frac{a}{2}}^{a}{f^{-1}(x)dx} = 0.$
А это сразу вытекает из сходимости интеграла, данной в условии (по критерию Коши).

[HZ_Ga'd_like]

Спасибо!