Операционный метод решения системы диффуров

[invisible1]

$ \left\{ \begin{array}{l} x'=-x-10y\\ y'=2x+3y\\ \end{array} \right $
$x(0)=7$, $y(0)=-1$

Нужно решить систему операционным методом. Так ли я делаю или подразумевается нечто другое...?
Начал решать, но что-то не так получается...
$x(t)\leftarrow\!\!:X(p)$
$x'(t)\leftarrow\!\!:pX(p)-7$
$y(t)\leftarrow\!\!:Y(p)$
$y'(t)\leftarrow\!\!:pY(p)+1$

Система переписывается в виде

$ \left\{ \begin{array}{l} pX(p)-7=-X(p)-10Y(p)\\ pY(p)+1=2X(p)+3Y(p)\\ \end{array} \right $

$ \left\{ \begin{array}{l} (p+1)X(p)-7=-10Y(p)\\ (p-3)Y(p)+1=2X(p)\\ \end{array} \right $

Из первого уравнения
$Y(p)=\dfrac{7-(p+1)X(p)}{10}$

Подставляем во второе $Y(p)$ и умножаем обе части второго уравнения на 10

$(p-3)(7-(p+1)X)=20X-10$
Раскрываем скобки и делая некоторые арифметические преобразования, получаем

$X(p)=\dfrac{11-7p}{p^2-2p+23}$

Нули знаменателя корявые $p_{1,2}=1 \pm 2\sqrt 6$

Дальше делать или я переврал тут все?

[ewert]

Какие есть. Арифметику не проверял (лень), но схема -- правильная.

А хотя нет, проверил (косвенно). Корни -- это должны быть собственные числа матрицы в правой части. Вы каким-то способом 23 и 17 перепутали.

[invisible1]

ewert в сообщении #271071 писал(а):

Какие есть. Арифметику не проверял (лень), но схема -- правильная.

А хотя нет, проверил (косвенно). Корни -- это должны быть собственные числа матрицы в правой части. Вы каким-то способом 23 и 17 перепутали.

Да, спасибо! Я к 20 прибавил три, а нужно было вычесть=)

$X(p)=\dfrac{11-7p}{p^2-2p+17}=\dfrac{11-7p}{(p-[1+4i])(p-[1-4i])}$

$x(t)=\dfrac{1}{2\pi i}\int\limits_{7-i\infty}^{7+i\infty}\dfrac{11-7p}{p^2-2p+17}e^{pt}dp$

1) $t>0$

Подынтегральная функция убывает в левой полуплоскости, поэтому контур будем замыкать там же.
$x(t)=\dfrac{1}{2\pi i}\int\limits_{7-i\infty}^{7+i\infty}\dfrac{11-7p}{p^2-2p+17}e^{pt}dp=res\limit_{p=1+4i}[\dfrac{11-7p}{p^2-2p+17}e^{pt}]+res\limits_{p=1-4i}[\dfrac{11-7p}{p^2-2p+17}e^{pt}]= \dfrac{4(1-7i)}{8i}e^{(1+4i)t}-\dfrac{4(1+7i)}{8i}e^{(1-4i)t}= e^t(\sin 4t -7\cos 4t)$

2) $t<0$
Подынтегральная функция не содержит там полюсов, поэтому $x(t)=0$ при $t<0$

3) $t=0$
$x(t)=\dfrac{4(1-7i)}{8i}-\dfrac{4(1+7i)}{8i}=-{7}$

-- Вс дек 13, 2009 21:22:58 --

Чего-то я где-то минус потерял...А можно ли $y(t)$ как-то попроще найти, чем через формулу обращения для...

$Y(p)=\dfrac{7-(p+1)X(p)}{10}$

[PAV]

Перенесено в учебный раздел.

[invisible1]

Так и не нашел, где потерял минус

[ewert]

invisible1 в сообщении #271111 писал(а):

$x(t)=\dfrac{1}{2\pi i}\int\limits_{7-i\infty}^{7+i\infty}\dfrac{11-7p}{p^2-2p+17}e^{pt}dp$

Боже мой, какая жуть. При чём тут Меллин-то?...

Просто раскладывайте дробь на простейшие (делая предварительно сдвиг по $p$, чтоб упростить знаменатель) -- и глядите в стандартную табличку изображений. С привлечением теоремы затухания, естественно.

Ну или не раскладывайте, а сразу глядите (смотря какая табличка).

[invisible1]

Спасибо, ewert, не раскладывал. Сделал сдвиг на единицу, воспользовался таблицей изображений.
А как в считаете - честно ли будет подставить найденный $x(t)$ в первое уравнение системы и найти оттуда $y(t)$ или нужно именно операционным методом искать его?

[ewert]

Смотря какое начальство. С моей лично точки зрения -- абсолютно честно и даже оптимально. "Не следует изобретать сущностей сверх необходимости" $\copyright$