максимизировать объем тела вращения

[Extar]

Периметр равнобедренного треугольника равен $2p$ . Какие должны быть длина основания и высота треугольника, чтобы при вращении вокруг основания получилось тело наибольшего объема?

Начал решать и застопорился. По идее объем такого тела вычислится по формуле $V=2 \pi r * 0,5 a h$. так как $h$ и $r$ в принципе одно и то же, то можно формулу записать так $V=a \pi h^2$

Внимание уважаемые знатоки, вопрос! что делать дальше?

[ewert]

Во-первых, вовсе не по этой формуле -- должен стоять удвоенный объём конуса. Впрочем, это не имеет значения.

Во-вторых, основание связано с высотой через периметр. Вот и выражайте одно через другое, подставляйте в объём и максимизируйте.

[Extar]

А почему конус? вращается то вокруг основания. там тело на конус и не похоже.
а основание представить в виде $a=2(p-x)$ (x-одно из двух равных бедер треугольника)

[BapuK]

Extar в сообщении #270987 писал(а):

А почему конус? вращается то вокруг основания. там тело на конус и не похоже.

если провести плоскость через окружность, которую описывает вершина, противоположная основанию, то получатся 2 равных конуса

[Sasha2]

Ну при таком вращении получается тело, состоящее из двух равных конусов.
Основанием каждого конуса является удвоенная высота исходного треугольника.
Высотой данного конуса является половина основания исходного треугольника.
Следовательно половина объема получаемого тела равна $V=\frac{1}{3}\pi(2h)^2\frac{a}{2}$, где $a$ - основание исходного треугольника, а $h$ его высота.
Теперь увяжите высоту исходного треугольника (теорема Пифагора) с его основанием $a$ и боковой стороной $b$. А затем через периметр избавьтесь от боковой стороны $b$.
После этого получите квадратный трехчлен (относительно основания) с рогами вниз.
Дальше дело техники.

[ewert]

ну как это квадратный, когда откровенно кубический

[Sasha2]

Ну почему же кубический, когда квадратный.
$V=\frac{1}{3}\pi(2h)^2\frac{a}{2}$
$h^2=b^2-\frac{a^2}{4}$
Сразу уберем все постоянные коэффициенты, чтобы они не мельтешили, получим
функцию, подлежжащую максимизации $a(b^2-\frac{a^2}{4})$
Далее $b=\frac{p-a}{2}$
Очевидно, что члены с $a^2$ в скобках уходят. Получаем квадратный трехчлен относительно $a$.

[ewert]

Sasha2 в сообщении #271061 писал(а):

, получим
функцию, подлежжащую максимизации $a(b^2-\frac{a^2}{4})$

ну да, естественно (за коэффициентами не следил), и получаем -- вот, нечто кубическое