система уравнений

[maxmatem]

$x+y=a,$
$x^{3}+y^{3}=b(x^{2}+y^{2}).$



замена $xy=k$
$x^{2}+y^{2}=a^{2}-2k$

тогда $a(a^{2}-3k)=b(a^{2}-2k)$
$a^{3}-3ak-ba^{2}+2bk=0$
$k(2b-3a)=ba^{2}-a^{3}$
$k$=$\frac{ba^{2}-a^{3}}{2b-3a}$


$y=a-x,$
$x(a-x)=\frac{a^{2}(b-a)}{2b-3a}.$


я получил вот такое уравнение и в этом моменте я встаю в тупик!
$x^{2}(2b-3a)-xa(2b-3a)+a^{2}(b-a)$
ну как квадратное решать коэффиценты крупноваты..... но я же не знаю какие a, b положительные отрецательные!

[ewert]

maxmatem в сообщении #270751 писал(а):

$$\left\{ \begin{array}{l}x+y=a,\\ x^{3}+y^{3}=b(x^{2}+y^{2}), \end{array} \right.$$

Разложите левую часть 2-го уравнения как сумму кубов и подставьте туда $x+y$ из первого. Получится однородное уравнение, сводящееся к квадратному для ${y\over x}$.

[Полосин]

Решайте в прежних обозначениях: $x+y=a, xy=k$, откуда $x^2-ax+k=0$.

[Виктор Викторов]

maxmatem в сообщении #270751 писал(а):

$x+y=a,$
$x^{3}+y^{3}=b(x^{2}+y^{2}).$

замена $xy=k$
$x^{2}+y^{2}=a^{2}-2k$

тогда $a(a^{2}-3k)=b(a^{2}-2k)$
$a^{3}-3ak-ba^{2}+2bk=0$
$k(2b-3a)=ba^{2}-a^{3}$
$k$=$\frac{ba^{2}-a^{3}}{2b-3a}$

Не надо делить на ${2b-3a}$. Делайте замену в предыдущей строчке.

maxmatem в сообщении #270751 писал(а):

$y=a-x,$
$x(a-x)=\frac{a^{2}(b-a)}{2b-3a}.$

я получил вот такое уравнение и в этом моменте я встаю в тупик!
$x^{2}(2b-3a)-xa(2b-3a)+a^{2}(b-a)$
ну как квадратное решать коэффиценты крупноваты..... но я же не знаю какие a, b положительные отрецательные!

$x^{2}(2b-3a)-xa(2b-3a)+a^{2}(b-a) = 0$

Это хорошее уравнение. Но надо анализировать коэффициенты.
Например, когда оно будет линейным? В случае квадратного уравнения, нужно проанализировать дискриминант ( дискриминант легко раскладывается на множители). Работайте!