2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Несобственные интегралы зависящие от параметра
Сообщение12.12.2009, 09:51 


30/04/09
81
Нижний Новгород
Здравствуйте!

Задача:
Доказать тождество при $a>0$

$\int_{0}^{\infty}{\frac{xe^{-x^2}}{\sqrt{x^2+a^2}}dx}=\frac{a}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{\infty}{ \frac{e^{-x^2}}{x^2+a^2}dx }$

Левый интеграл серией замен $x^2=t; \sqrt{t+a^2}=z$
приводится к виду:
$\int_{a}^{\infty}{e^{a^2-z^2}dz}$

Подскажите пожалуйста, с чего начать упрощать правую часть.

з.ы.второй интеграл отличается от первого на множитель $x\sqrt{x^2+a^2}$
и т.е. есть такая мысль
$\int_{0}^{\infty}{\frac{xe^{-x^2}}{\sqrt{x^2+a^2}}dx}= \lim\limits_{x_0->+\infty} {\xi_{x_0} \int_{0}^{x_0}{ \frac{e^{-x^2}}{x^2+a^2}dx }}$
тогда надо доказать что $\lim\limits_{x_0->+\infty}{\xi_{x_0}}=\frac{a}{\sqrt{\pi}}$
Но тоже не знаю что дальше с этим можно сделать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несобственные интегралы зависящие от параметра
Сообщение12.12.2009, 10:31 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Каждый интеграл после дифференцирования по параметру и потом интегрирования по частям сводится, в принципе, к самому себе (с какими-то добавками). Я бы попытался доказать, что они удовлетворяют одному и тому же дифференциальному уравнению. Ну а в нуле оба они равнны ${\sqrt{\pi}\over2}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несобственные интегралы зависящие от параметра
Сообщение12.12.2009, 11:24 


30/04/09
81
Нижний Новгород
идею понял буду пробовать

 Профиль  
                  
 
 Re: Несобственные интегралы зависящие от параметра
Сообщение12.12.2009, 22:38 


30/04/09
81
Нижний Новгород
Что-то я застрял на взятии по частям.

После дифференцирования обоих частей:

$-\int\limits_{0}^{\infty}{\frac{axe^{-x^2}}{ (x^2+a^2)^{3/2} }dx} =\int\limits_{0}^{\infty}{\frac{e^{-x^2} (x^2 -a^2)}{\sqrt{\pi}(x^2+a^2)^2}dx}$

Может я все таки не понял идеи, но по каким бы частям я не брал слева получается интеграл с корнем а справа без, т.е. у меня не получилось свести.
=(

Зато получил из левого интеграла дифференциальное уравнение (о котором наверное вы говорили) (части $u=\frac{e^{-x^2}}{x^2+a^2}$ и $dv=\frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}$) :
$3I'=-1/a +2I$

 Профиль  
                  
 
 Re: Несобственные интегралы зависящие от параметра
Сообщение13.12.2009, 00:02 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Хм. Ну попробуем. $$I_1(a)=\int_0^{+\infty}{x\,e^{-x^2}\over\sqrt{x^2+a^2}}\,dx=\int_0^{+\infty}e^{-x^2}d\left(\sqrt{x^2+a^2}\right)=0-a+\int_0^{+\infty}2x\,e^{-x^2}\sqrt{x^2+a^2}\,dx;$$ $$I'_1(a)=-1+\int_0^{+\infty}2x\,e^{-x^2}{a\over\sqrt{x^2+a^2}}\,dx=-1+2a\,I_1(a).$$ С правым -- примерно так же (интегрировать по частям надо в сторону арктангенса).

Дифур, кстати, легко решается, получается действительно эрфик: $\displaystyle I_1(a)=e^{a^2}\left({\sqrt\pi\over2}-\int_0^ae^{-t^2}dt\right)=\int_a^{+\infty}e^{a^2-t^2}dt$. Контроль: $\displaystyle I_1(a)\sim{1\over2a}$ при $a\to+\infty$, и это правда.

--------------------------------------------------------
Да, а ещё можно свести второй интеграл к тому же эрфику введением искусственного параметра в показатель экспоненты: $$\int_0^{+\infty}{e^{-x^2}\over x^2+a^2}\,dx=\left.\int_0^{+\infty}{e^{-z(x^2+a^2)}\over x^2+a^2}\,dx\right|_{z=1}\cdot e^{a^2}.$$ Дифференцирование по $z$ убивает знаменатель и т.д.. Наверное, так и надо было.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несобственные интегралы зависящие от параметра
Сообщение13.12.2009, 12:02 


30/04/09
81
Нижний Новгород
итак, второй интеграл:
$$ \frac{a}{\sqrt{\pi}} \left\int\limits_{0}^{\infty}{ \frac{e^{-x^2} }{x^2+a^2}dx}$$
$u=e^{-x^2} dv= \frac{1}{x^2+a^2}$ - двигаемся в сторону арктангенса
тогда
$$ \frac{a}{\sqrt{\pi}}\left (   (\frac{1}{a}arctg(x/a)e^{-x^2}) |_{0}^{+\infty} + \frac{1}{a} \int\limits_{0}^{+\infty} {2xe^{-x^2}arctg(x/a)dx}  \right) =  \frac{1}{\sqrt{\pi}} \int\limits_{0}^{+\infty}{2xarctg(x/a)e^{-x^2}dx}$$
Теперь дифференцируем по a:
$$I'_{2}= -\frac{1}{\sqrt{\pi}} \int\limits_{0}^{\infty}{\frac{2x^2e^{-x^2}}{a^2+x^2}dx}$$

И как бы опять ничего хорошего...

(Дольше пробовал брать по частям и делать замены, но как-то не сводится ни к производной ни к самой функции)

 Профиль  
                  
 
 Re: Несобственные интегралы зависящие от параметра
Сообщение13.12.2009, 12:11 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Ну как это ничего хорошего -- а прибавить и вычесть в числителе $2a^2$?...

 Профиль  
                  
 
 Re: Несобственные интегралы зависящие от параметра
Сообщение13.12.2009, 12:50 


30/04/09
81
Нижний Новгород
Точно!!!
Спасибо.

Так получил тоже дифференциальное уравнение.
Убедился что правый и левый интеграл совпадают!

Еще раз спасибо.!

 Профиль  
                  
 
 Re: Несобственные интегралы зависящие от параметра
Сообщение13.12.2009, 12:52 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Попробуйте всё-таки второй интеграл ещё и вторым способом -- так логически проще (да, в общем, и технически).

 Профиль  
                  
 
 Re: Несобственные интегралы зависящие от параметра
Сообщение13.12.2009, 13:19 


30/04/09
81
Нижний Новгород
Да там тоже вроди получается. Я щас еще посмотрю если не получится спрошу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несобственные интегралы зависящие от параметра
Сообщение13.12.2009, 21:32 


30/04/09
81
Нижний Новгород
Так стоп.
Сейчас еще раз проверил и понял что мы не можем подставлять в интегралы 0 (во всяком случае во второй точно).
Во первых условие задачи запрещает, но это ограничение для левого интеграла не нужно.
Проблема со вторым для него ограничение необходимо (в ходе решения выплывали константы $\frac{1}{a}$). Да если бы и можно было подставлять, то там получается ноль, что не равно значению левого интеграла в 0, я видимо прозевал.
А если подставлять другие значения, то это всеравно что брать правый интеграл в лоб, что до этого сделать не получилось.

Если рассматривать второй способ, то там тоже дифференциальное уравнение получается и таже проблема при решении задачи Коши.

Вообщем, я не понимаю, почему константы после решения дифференциального уравнения для левого и правого интеграла равны. =(

 Профиль  
                  
 
 Re: Несобственные интегралы зависящие от параметра
Сообщение13.12.2009, 22:46 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Во втором (в нуле) нужна некая стандартная игра эпсилон-дельтами.

Если $a$ безумно мало, то вся подынтегральная функция практически сосредоточена лишь в малой окрестности нуля. Соответственно, для значения интеграла числитель практически неинтересен -- он практически равен единице. Вот и получаем в пределе арктангенс, который нам и нужен.

Для формализации этой идеи стандартно заменяем бесконечный верхний предел на некое $M(a)$, которое уменьшается при уменьшении $a$ (гарантируя стабилизацию числителя). Но не слишком быстро уменьшается, всё же много медленнее самого $a$ -- так, чтобы по этой области интеграл от "чистого знаменателя" (с учётом того же $a$ в числителе перед интенгралом) всё ж стремился к арктангенсу на бесконечности. Это возможно, там есть некоторый люфт, и в пределе получаем арктангенс на бесконечности.

Это корректно: числитель равномерно ограничен, и поэтому гордо игнорируемые нами хвосты стремятся к нулю.

Наверное, это не блещет эстетичностью, да и оптимизированностью наверняка. Но -- это первое, что приходит (и должно приходить) в голову, и это эффективно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несобственные интегралы зависящие от параметра
Сообщение14.12.2009, 21:10 


30/04/09
81
Нижний Новгород
Тут проще.
Просто рассмотреть предел при $a->+0$ после того как взяли по частям и там все очевидно. =)


 i  a \to +0: $a\to+0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Несобственные интегралы зависящие от параметра
Сообщение26.12.2009, 11:53 


30/04/09
81
Нижний Новгород
Возникла проблема с этим заданием. Там если рассматривать предел при а стремящемся к 0 в правом интеграле.
То если рассматривать предел от исходного выражения то там не понятно как считать.
А если после интегрирования по частям, то там проблема с тем что подынтыгральная функция, не непрерывна как функция 2 переменных в точке $(0,0)$. Соответственно интеграл и предел местами менять нельзя.
Подскажите, пожалуйста, что можно сделать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несобственные интегралы зависящие от параметра
Сообщение26.12.2009, 12:14 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Второй интеграл заменой $x=at$ сводится к $\displaystyle{1\over\sqrt{\pi}}\int_{0}^{+\infty}{e^{-a^2t^2}\over t^2+1}\,dt$, и числитель стремится к единице при $a\to0$, причём снизу; этого достаточно для корректности предельного перехода.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group