Тоерема о существовании конечных полей

[Ardling]

Здравствуйте. Читая 1й том Введения в алгебру Кострикина, наткнулся на теорему (стр 161) гласящую "Кольцо классов вычетов по модулю $p$ является полем тогда и только тогда, когда $p$ — простое число". Фактически доказать нужно только что кольцо классов вычетов является группой по умножению, те наличие у каждого элемента кольца обратного элемента.

Кострикин рассматривает множество различных элементов вида $1s, 2s, ... , (p-1)s$ где $s$ - произвольный элемент поля, и утверждает что оно совпадает с переставленным каким-то образом $1(\mod m), 2(\mod m), ..., (p-1)(\mod m)$ и на основании этого делает вывод, что для каждого $s$ найдется обратный по умножению элемент. Мне не понятно как связано наличие обратного элемента для всякого $s$ следует из приведенных рассуждений. Подскажите пожалуйста.

[bot]

Если $1s, 2s, ... , (p-1)s\ - $ все вычеты по модулю $p$, то нет ли среди них вычета 1?

[Ardling]

bot в сообщении #270237 писал(а):

Если $1s, 2s, ... , (p-1)s\ - $ все вычеты по модулю $p$, то нет ли среди них вычета 1?

Я не уверен что понял, что вы имели в виду под вычетом 1.

-- Пт дек 11, 2009 15:38:08 --

Вообще можно попробовать свести задачу к известной теореме из теории чисел $rk+mn=1$, если вспомнить что $s(\mod m) = r + nm$, где $n$ - целое, $k$ - элемент кольца вычетов, но мне думается Кострикин не это имел в виду.

[bot]

Чтобы указать на класс вычетов достаточно указать любой элемент этого класса.
Так что здесь обычное смешивание класса вычетов с произвольно выбранным его представителем.

[Профессор Снэйп]

Ardling в сообщении #270224 писал(а):

Кострикин рассматривает множество различных элементов вида $1s, 2s, ... , (p-1)s$ где $s$ - произвольный элемент поля, и утверждает что оно совпадает с переставленным каким-то образом $1(\mod m), 2(\mod m), ..., (p-1)(\mod m)$ и на основании этого делает вывод, что для каждого $s$ найдется обратный по умножению элемент. Мне не понятно как связано наличие обратного элемента для всякого $s$ следует из приведенных рассуждений. Подскажите пожалуйста.

Всего существует $p$ штук различных остатков. Вам дано $p$ чисел и утверждается, что все они имеют разные остатки. Отсюда очевидный вывод: каждый остаток является остатком какого-то числа из данного набора при делении на $p$. В частности, остаток $1$.

[Ardling]

Профессор Снэйп в сообщении #270282 писал(а):

Всего существует $p$ штук различных остатков. Вам дано $p$ чисел и утверждается, что все они имеют разные остатки. Отсюда очевидный вывод: каждый остаток является остатком какого-то числа из данного набора при делении на $p$. В частности, остаток $1$.

Спасибо, теперь все понятно.

-- Пт дек 11, 2009 18:20:01 --

Единственность.

Насколько я понимаю, в этой теореме мы фактически доказали еще и единственность поля вычетов по простому основанию $p$, так как если элементы $s, 2s, ..., (p-1)s$ совпадают с $m_1, m_2, ..., m_{p-1}$ и с $n_1, n_2, ..., n_{p-1}$, которые есть по разному переставленные элементы $1, 2, ..., p-1$ (все по модулю $p$), то между ними существует тривиальный изоморфизм. Я верно понимаю, или где-то запутался?