2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 2D преобразование фурье
Сообщение11.12.2009, 14:13 


11/12/09
4
решая физическую задачу про корреляцию флуктуаций натолкнулся на необходимость двухмерного фурье преобразования от $\frac1{a^2+x^2}$ т.е. нужно вычислить след. интеграл:

$\int\limites_{S_q} \frac{e^{-i\vec{R}\vec{q}}}{a^2+x^2} d\vec{q} $

в одномерном и трехмерном случае такое преобразование элементарно. В 3D преобразованием в полярные координаты, затем интеграл по углу, затем применяем вычиты и получаем результат. В 2D так решить нельзя. Как мне кажется, интеграл $\int e^{a\cos{x}} dx$ не берется.

Как можно решит такую задачу? Заранее спасибо за ответ.

 Профиль  
                  
 
 Re: 2D преобразование фурье
Сообщение11.12.2009, 14:51 
Заслуженный участник


19/07/08
1266
kslyus в сообщении #270221 писал(а):
Как мне кажется, интеграл $\int e^{a\cos{x}} dx$ не берется.

Естественно не берётся.
$$J_n(z)=\frac{1}{2\pi i^n}\int_0^{2\pi} e^{iz\cos\phi}e^{i n \phi}d\phi$$

 Профиль  
                  
 
 Re: 2D преобразование фурье
Сообщение11.12.2009, 17:37 


11/12/09
4
nestoklon, спасибо

расписав двойной интеграл в повторный в полярных координатах находим:

$f(R) = \int_0^{\infty} \frac{J_0 (xR) x}{a^2+x^2}dx$

но а дальше? можно выразить зависимость $f(R)$ через элементарные функции?

 Профиль  
                  
 
 Re: 2D преобразование фурье
Сообщение11.12.2009, 17:50 
Заслуженный участник


22/01/07
605
Как $x$ связано с $q$?

 Профиль  
                  
 
 Re: 2D преобразование фурье
Сообщение11.12.2009, 17:54 


11/12/09
4
б... сори. опечатка, везде x

$f(R) = \int_{S_x} \frac{e^{i\vec{R}\vec{x}}}{a^2+\vec{x}^2}d\vec{x}$

 Профиль  
                  
 
 Re: 2D преобразование фурье
Сообщение11.12.2009, 18:04 
Заслуженный участник


19/07/08
1266
kslyus в сообщении #270293 писал(а):
но а дальше? можно выразить зависимость $f(R)$ через элементарные функции?

Да, этот интеграл берётся. Как берётся -- не знаю, мне это было неинтересно. Но эти интегралы есть в справочниках. Возьмите Рыжика или Прудников, Брычков, Марычев (тут он должен быть во втором томе в районе 2.12.3-4)

 Профиль  
                  
 
 Re: 2D преобразование фурье
Сообщение11.12.2009, 19:52 
Заслуженный участник


09/01/06
800
$ \int_0^{\infty} \frac{J_0 (xR) x}{a^2+x^2}dx=K_0(aR)$,
где $K_0(z)$ - функция Макдональда нулевого порядка.

 Профиль  
                  
 
 Re: 2D преобразование фурье
Сообщение11.12.2009, 22:21 


11/12/09
4
nestoklon, V.V. спасибо. Вопрос решен.

PS: А мне нужно чаще в справочники смотреть.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Red_Herring


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group